\(P=\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{1}{z\left(z+1\right)}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\)

Mà theo BĐT AM - GM ta có tiếp:

\(xyz\le\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3=1\)

\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\le\left(\frac{x+y+z+3}{3}\right)^3=8\)

\(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1

Vậy..................

thay x+y=2 vào C có \(C=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{2}=\frac{1}{x^2+y^2}+1\)    (*)

ta có: \(x^2+y^2=x^2+2xy+y^2-2xy=\left(x+y\right)^2-2xy=4-2xy\)(1)

thay (1) vào (*) có  \(C=\frac{1}{4-2xy}+1\)  (**)

mặt khác áp dụng BĐT cô -si ta có:\(x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow4-2xy\ge2xy\Leftrightarrow xy\le1\) (2)

\(4-2xy\le2\Leftrightarrow\frac{1}{4-2xy}\ge\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{4-2xy}+1\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow C=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{x+y}\ge\frac{3}{2}\)

vậy GTNN của C=3 phần 2 <=>x=y=1

Bạn Trần Đình Thuyên giải sai rồi!

By Titu's Lemma we easy have:

\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)

\(=\frac{17}{4}\)

Mk xin b2 nha!

\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)

\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)

\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)

Chứng minh BĐT phụ:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Giờ thì chứng minh thôi:3

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz dạng engel ta có:

\(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(2x+\frac{1}{x}+2y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)

\(=\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{1}\right]^2}{2}\)

\(=8\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(P_{min}=8\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Bài này bạn làm đúng rồi nhưng mà bạn bị nhầm phép tính: \(\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{1}\right]^2}{2}=18\)

=> Min P=18

Mik ms làm lần đâu sai thì thôi nha :

 Để P nhỏ nhất thì 

 \(y^2+z^2+z^2+x^2+y^2+x^2\)

\(=\left(y^2+x^2+z^2\right)+z^2+x^2+y^2\)

\(=1+x^2+y^2+z^2\ge1\)

b làm rõ hơn đc ko

\(2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{xy}\)

\(\Leftrightarrow xy\ge1\)

\(\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\ge2\)

1/a/
\(A=\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}=\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{4}{x^2+y^2}\right)-\frac{1}{x^2+y^2}\)

\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}-\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=16-2=14\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

b/

\(4B=\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{8}{xy}+16xy=\left(\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}\right)+\left(\frac{1}{xy}+16xy\right)+\frac{5}{xy}\)

\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{xy}.16xy}+\frac{5}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)

\(=16+8+20=44\)

\(\Rightarrow B\ge11\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)