\(x^2+y^2-2x-4y-4=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2-9=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=9=0^2+3^2=0^2+\left(-3\right)^2\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y-2=3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1=3\\y-2=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y-2=-3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1=-3\\y-2=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow-2\le x\le4\left(y\in R\right)\)

Ta có \(S=3x+4y\)

Mà \(x\ge-2;y\ge-1\Leftrightarrow S\ge3\cdot\left(-2\right)+4\cdot\left(-1\right)=-6-4=-10\)

Vậy GTNN của S là \(-10\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

ĐKĐB $\Leftrightarrow (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)-9=0$

$\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2-9=0$

$\Rightarrow (x-1)^2=9-(y-2)^2\leq 9$

$\Rightarrow -3\leq x-1\leq 3$

$\Leftrightarrow -2\leq x\leq 4$

-------------

Đặt $x-1=a; y-2=b$ thì bài toán trở thành:
Cho $a,b$ thực thỏa mãn $a^2+b^2=9$

Tìm min $S=3a+4b+11$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(3a+4b)^2\leq (a^2+b^2)(3^2+4^2)=9.25$

$\Rightarrow -15\leq 3a+4b\leq 15$

$\Rightarrow 3a+4b\geq -15$

$\Rightarrow S=3a+4b+11\geq -4$

Vậy $S_{\min}=-4$ khi $x=\frac{-4}{5}; y=\frac{-1}{5}$

$$\left\{\begin{aligned} &\sqrt{2x+y+5}-\sqrt{3-x-y}=x^3-3x^2-10y+6 &&(1) \\ &x^3-6x^2+13x=y^3+y+10 &&(2)\end{aligned}\right.$$
Lời giải. Điều kiện: $2x+y+5 \ge 0$ và $3-x-y \ge 0.$ Phương trình (2) có thể viết lại thành $$(x^3-6x^2+12x-8)+(x-2)=y^3+y,$$ hay $$(x-2)^3+(x-2)=y^3+y.$$ Phương trình trên có dạng $f(x-2)=f(y)$ với $f(t)=t^3+t.$ Do $f(t)$ là hàm liên tục và tăng nghiêm ngặt trên $\mathbb R$ nên từ đây, ta có $y=x-2.$ Thay vào (1), ta được $$\sqrt{3x+3}-\sqrt{5-2x}=x^3-3x^2-10x+26. \text{ }(3)$$ Lúc này, ta có điều kiện tương ứng cho $x$ là $-1 \le x \le \frac{5}{2}.$ Với điều kiện này, phương trình (3) tương đương với $$ \left(\sqrt{3x+3}-3\right)+\left(1-\sqrt{5-2x}\right)-(x^3-3x^2-10x+24)=0,$$ hay $$\frac{3(x-2)}{\sqrt{3x+3}+3}+\frac{2(x-2)}{\sqrt{5-2x}+1}+(x-2)(4-x)(x+3)=0.$$ Đưa $x-2$ ra làm nhân tử chung, ta được $$(x-2)\left[\frac{3}{\sqrt{3x+3}+3}+\frac{2}{\sqrt{5-2x}+1}+(4-x)(x+3)\right]=0.$$ Do $-1 \le x\le \frac{5}{2}$ nên dễ thấy $$\frac{3}{\sqrt{3x+3}+3}+\frac{2}{\sqrt{5-2x}+1}+(4-x)(x+3)>0.$$ Từ đây, ta suy ra ngay $x=2$ và $y=x-2=0.$ Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x,\,y)=(2,\,0).$

CHÚC BẠN HỌC TỐT

Thanks

\(P\ge\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3y^3}}}{xy}+\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{y^3z^3}}}{yz}+\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{z^3x^3}}}{zx}\)

\(P\ge\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy.yz.zx}}}=3\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Ta có bất đẳng thức sau \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0.\)

Do đó:

\(P=\sum\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\sum\dfrac{\sqrt{xyz+xy\left(x+y\right)}}{xy}\)

\(=\sqrt{x+y+z}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{yz}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1.$

We have : \(A=x+y+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{x+y}{2}+\left(\dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{y}\right)+\left(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{x}{2}\right)\)

\(Applying\) C-S we have : \(\dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{y}\ge2;\dfrac{1}{2x}+\dfrac{x}{2}\ge1\)

x + y \(\ge3\)  \(\Rightarrow\dfrac{x+y}{2}\ge\dfrac{3}{2}\)

So : \(A\ge\dfrac{3}{2}+2+1=\dfrac{9}{2}\)

" = " \(\Leftrightarrow x=1;y=2\)

Bài 1: 

\(\Leftrightarrow\left(x^2-6x-7\right)^2-\left(3x^2-12x-9\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x^2-12x-9-x^2+6x+7\right)\left(3x^2-12x-9+x^2-6x-7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2-6x-2\right)\left(4x^2-18x-16\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-3x-1\right)\left(2x^2-9x-8\right)=0\)

hay \(x\in\left\{\dfrac{3+\sqrt{13}}{2};\dfrac{3-\sqrt{13}}{2};\dfrac{9+\sqrt{145}}{4};\dfrac{9-\sqrt{145}}{4}\right\}\)

theo mik thì x,y là số dương hoặc số nguyên dương

x,y là số thực bạn ạ, đề thi trường mình 4 năm trước, thầy giao về nhà mà mình chưa làm được :''>

Do đường tròn tiếp xúc với trục Ox nên R = d(I,Ox) = |yI|.

Phương trình trục Ox là y = 0

Đáp án D đúng vì: Tâm I(−3;\(\dfrac{-5}{2}\)) và bán kính R=\(\dfrac{5}{2}\). Ta có   

d(I, Ox) = |yI| = R.