\(x+y=4xy\Rightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{4}{x+y}\Rightarrow4>=\frac{4}{x+y}\Rightarrow x+y>=1\)(bđt svacxo)

\(x^2+y^2>=\frac{\left(x+y\right)^2}{2};xy< =\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow P=x^2+y^2-xy>=\frac{\left(x+y\right)^2}{2}-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{\left(x+y\right)^2}{4}>=\frac{1^2}{4}=\frac{1}{4}\)

dấu = xảy ra khi \(x+y=1;x=y\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\left(tm\right)\)

vậy min P là \(\frac{1}{4}\)khi x=y=\(\frac{1}{2}\)

theo minh de ma

đúng rồi dễ mà

1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)

 \(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)

max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t

Ta thấy 
72
=
2
3
.
3
2
72=2 
3
 .3 
2
  nên a, b có dạng 
{
�
=
2
�
3
�
�
=
2
�
.
3
�
{ 
a=2 
x
 3 
y
 
b=2 
z
 .3 
t
 
​
  với 
�
,
�
,
�
,
�
∈
N
x,y,z,t∈N và 
�
�
�
{
�
,
�
}
=
3
;
�
�
�
{
�
,
�
}
=
2
max{x,z}=3;max{y,t}=2. 

 Theo đề bài, ta có 
2
�
.
3
�
+
2
�
.
3
�
=
42
2 
x
 .3 
y
 +2 
z
 .3 
t
 =42

 
⇔
2
�
−
1
.
3
�
−
1
+
2
�
−
1
3
�
−
1
=
7
⇔2 
x−1
 .3 
y−1
 +2 
z−1
 3 
t−1
 =7   (*), do đó 
�
,
�
,
�
,
�
≥
1
x,y,z,t≥1

 TH1: 
�
≥
�
,
�
≤
�
x≥z,y≤t. Khi đó 
�
=
3
,
�
=
2
x=3,t=2. (*) thành:

 
4.
3
�
−
1
+
3.
2
�
−
1
=
7
4.3 
y−1
 +3.2 
z−1
 =7 
⇔
�
=
�
=
1
⇔y=z=1

 Vậy 
{
�
=
24
�
=
18
{ 
a=24
b=18
​
  (nhận)

 TH2: KMTQ thì giả sử 
�
≥
�
,
�
≥
�
x≥z,y≥t. Khi đó 
�
=
3
,
�
=
2
x=3,z=2. (*) thành 

 
4.
3
�
−
1
+
2.
3
�
−
1
=
7
4.3 
y−1
 +2.3 
t−1
 =7, điều này là vô lí.

 Vậy 
(
�
,
�
)
=
(
24
,
18
)
(a,b)=(24,18) hay 
(
18
,
24
)
(18,24) là cặp số duy nhất thỏa yêu cầu bài toán.

câu 1

x^2 -5x +y^2+xy -4y +2014 

=(y^2+xy +1/4x^2) -4(y+1/2x)+4 +3/4x^2-3x+2010

=(y+1/2x-2)^2 +3/4(x^2-4x+4)+2007

=(y+1/2x-2)^2 +3/4(x-2)^2 +2007

GTNN là 2007<=> x=2 và y=1

\(M=\sqrt{3}xy+y^2=\frac{1}{2}\left(x^2+2\sqrt{3}xy+3y^2\right)-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}y^2\)

\(=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{3}y\right)^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}\).

Nên GTNN của M là \(-\frac{1}{2}\) đạt được khi  \(x=-\sqrt{3}y\Rightarrow x^2=3y^2\Rightarrow4y^2=1\Rightarrow y=\pm\frac{1}{2}\)

 +,Với \(y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

+,Với \(y=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Ta lại có:\(M=\sqrt{3}xy+y^2\le\frac{3x^2+y^2}{2}+y^2=\frac{3x^2+3y^2}{2}=\frac{3}{2}\)

Nên GTLN của M là \(\frac{3}{2}\) đạt được khi \(\sqrt{3}x=y\Rightarrow3x^2=y^2\Rightarrow4x^2=1\Rightarrow x=\pm\frac{1}{2}\)

 +,Với \(x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

 +,Với \(x=-\frac{1}{2}\Rightarrow y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

M=3xy+y2=21​(x2+23​xy+3y2)−21​x2−21​y2

=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{3}y\right)^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}=21​(x+3​y)2−21​≥−21​.

Nên GTNN của M là -\frac{1}{2}−21​ đạt được khi  x=-\sqrt{3}y\Rightarrow x^2=3y^2\Rightarrow4y^2=1\Rightarrow y=\pm\frac{1}{2}x=−3y⇒x2=3y2⇒4y2=1⇒y=±21​

 +,Với y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{\sqrt{3}}{2}y=21​⇒x=−23​​

+,Với y=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{2}y=−21​⇒x=23​​

Ta lại có:M=\sqrt{3}xy+y^2\le\frac{3x^2+y^2}{2}+y^2=\frac{3x^2+3y^2}{2}=\frac{3}{2}M=3xy+y2≤23x2+y2​+y2=23x2+3y2​=23​

Nên GTLN của M là \frac{3}{2}23​ đạt được khi \sqrt{3}x=y\Rightarrow3x^2=y^2\Rightarrow4x^2=1\Rightarrow x=\pm\frac{1}{2}3x=y⇒3x2=y2⇒4x2=1⇒x=±21​

 +,Với x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{\sqrt{3}}{2}x=21​⇒y=23​​

 +,Với x=-\frac{1}{2}\Rightarrow y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x=−21​⇒y=−23​​