a) Có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=1\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\).

b) 

\(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow-4xy\ge-\left(x+y\right)^2=-1\)

Suy ra \(B=3-xy\ge3-\frac{1}{4}=\frac{11}{4}\)

Dấu  \(=\)xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\).

Đây chỉ nghĩ thôi nha

Ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\ge\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\ge xy\)( dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=1/2)

Mặt khác: \(x^2+y^2\ge2xy\ge2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)

Vậy Min của \(x^2+y^2\)là 1/2 tại x=y=1/2

Câu b) Lấy cái trên câu a)

Ta có: \(\frac{1}{4}\ge xy\)

Suy ra: \(B=3-xy\ge3-\frac{1}{4}=\frac{11}{4}\)

Vậy min B=11/4

Bài 1:

Ta thấy: $(x+\frac{1}{2})^2\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow (x+\frac{1}{2})^2+\frac{5}{4}\geq \frac{5}{4}$

Vậy gtnn của biểu thức là $\frac{5}{4}$

Giá trị này đạt tại $x+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$

Bài 2:

$x+y-3=0\Rightarrow x+y=3$
\(M=x^2(x+y)-(x+y)x^2-y(x+y)+4y+x+2019\)

\(=-3y+4y+x+2019=x+y+2019=3+2019=2022\)

Theo đề bài, ta có: x-y=2 => x=2+y

=> P=xy+4=(2+y)y+4=2y+y²+4=y²+2y+1+3=(y+1)²+3

Ta có: \(\left(y+1\right)^2\ge0\) với mọi y

=> \(\left(y+1\right)^2+3\ge3\) với mọi y

Dấu "=" xảy ra khi y=-1, x=1

Vậy...

\(x-y=2\Rightarrow y=x-2\)

\(P=x\left(x-2\right)+4=x^2-2x+4=\left(x-1\right)^2+3\ge3\)

\(P_{min}=3\) khi \(\left(x;y\right)=\left(1;-1\right)\)