Câu này đề bài có vấn đề nhé.

1. x , y,z > 1 thì không thể có x+ y +z =1.

2. Gỉa sử x, y, x  > 0.  Ví dụ lấy \(x=0,99999999\), \(z=5.10^{-9}\),\(y=5.10^{-9}\)

ta thấy M sẽ rất nhỏ. Khi x càng dần 1, z,y càng dần tới 0 thì M càng nhỏ, nên ko tìm GTNN của M đc.

FZ xem lại em nhé.

Do \(x;y;z>0\) và \(x^2+y^2+z^2=3\)

Nên \(0< x;y;z< \sqrt{3}\)

Ta có: \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9x}+\frac{1}{9y}+\frac{1}{9z}\)

\(\Rightarrow A\ge x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}+z+\frac{1}{z}-\frac{1}{9x}-\frac{1}{9y}-\frac{1}{9z}\)

\(\Leftrightarrow A\ge x+\frac{8}{9x}+y+\frac{8}{9y}+z+\frac{8}{9z}\)

Ta chứng minh: \(x+\frac{8}{9x}\ge\frac{x^2+33}{18}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(16-x\right)\ge\)

Do đó \(A\ge\frac{x^2+y^2+z^2+99}{18}=\frac{102}{18}=\frac{17}{3}\)

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1

Dòng thứ 3 từ dưới lên là \(\left(x-1\right)^2\left(16-x\right)\ge0\)

                              Đúng do \(0< x< \sqrt{3}< 16\)

\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=1.\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(x=y=z=\frac{2}{3}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{x^2}{y+z}\)và \(\frac{y+z}{4}\), ta được :

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=2.\frac{x}{2}=x\)  ( 1 )

Tương tự : \(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\)                                       ( 2 )

                \(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)                                          ( 3 )

Cộng ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) , ta được :

\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)

\(P\ge\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{2}=1\) 

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)

Vậy GTNN của P là 1 \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)

Nhớ mang máng câu này hồi trước có giải rồi. Thôi tự vô tìm đi nha

b, Gọi biểu thức đề ra là B

=> Theo bđt cô si ta có : \(B\ge3\sqrt[3]{\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{z^2}\right)\left(z^2+\frac{1}{x^2}\right)}\)

=> \(B\ge3\sqrt[3]{2\cdot\frac{x}{y}\cdot2\cdot\frac{y}{z}\cdot2\cdot\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{8}=6\) 

( Chỗ này là thay \(x^2+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}}=2\cdot\frac{x}{y}\) và 2 cái kia tương tự vào )

=> Min B=6

Theo bđt cô si thì ta có : \(\sqrt{\left(x+y\right)\cdot1}\le\frac{x+y+1}{2}\)

\(\sqrt{\left(z+x\right)\cdot1}\le\frac{z+x+1}{2}\)

\(\sqrt{\left(y+z\right)\cdot1}\le\frac{y+z+1}{2}\)

=> Cộng vế theo vế ta được : \(A\le\frac{2\left(x+y+z\right)+3}{2}=\frac{5}{2}\)

Dấu = xảy ra khi : x+y+z=1 và x+y=1 và y+z=1 và x+z=1

=> \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vậy ...

\(P=\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{1}{z\left(z+1\right)}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\)

Mà theo BĐT AM - GM ta có tiếp:

\(xyz\le\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3=1\)

\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\le\left(\frac{x+y+z+3}{3}\right)^3=8\)

\(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1

Vậy..................

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{9}{xy+yz+xz}(1)\)

\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+xz}+\frac{1}{xy+yz+xz}\geq \frac{9}{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)}=\frac{9}{(x+y+z)^2}=9(2)\)

Áp dụng hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM ta có:

\(3(xy+yz+xz)\leq (x+y+z)^2=1\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow \frac{7}{xy+yz+xz}\geq 21(3)\)

Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+xz}\geq 9+21=30\)Vậy $P_{\min}=30$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{9}{xy+yz+xz}(1)\)

\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+xz}+\frac{1}{xy+yz+xz}\geq \frac{9}{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)}=\frac{9}{(x+y+z)^2}=9(2)\)

Áp dụng hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM ta có:

\(3(xy+yz+xz)\leq (x+y+z)^2=1\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow \frac{7}{xy+yz+xz}\geq 21(3)\)

Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+xz}\geq 9+21=30\)Vậy $P_{\min}=30$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
​

Mik ms làm lần đâu sai thì thôi nha :

 Để P nhỏ nhất thì 

 \(y^2+z^2+z^2+x^2+y^2+x^2\)

\(=\left(y^2+x^2+z^2\right)+z^2+x^2+y^2\)

\(=1+x^2+y^2+z^2\ge1\)

b làm rõ hơn đc ko