Ta có các nhận xét:
a2≡1(mod3)∨a2≡0(mod3)(1)a2≡1(mod3)∨a2≡0(mod3)(1)
a2≡1(mod4)∨a2≡0(mod4)(2)a2≡1(mod4)∨a2≡0(mod4)(2)
a)Giả sử trong x;y;z không có số nào chia hết cho 3.
Từ (1) nên ta có x2≡y2≡1(mod3)x2≡y2≡1(mod3)
Nên z2≡1+1≡2(mod3)z2≡1+1≡2(mod3): vô lý nên ta có đpcm.

Ta có các nhận xét:
a2≡1(mod3)∨a2≡0(mod3)(1)a2≡1(mod3)∨a2≡0(mod3)(1)
a2≡1(mod4)∨a2≡0(mod4)(2)a2≡1(mod4)∨a2≡0(mod4)(2)
a)Giả sử trong x;y;z không có số nào chia hết cho 3.
Từ (1) nên ta có x2≡y2≡1(mod3)x2≡y2≡1(mod3)
Nên z2≡1+1≡2(mod3)z2≡1+1≡2(mod3): vô lý nên ta có đpcm.

\(x^5-x=x\left(x^4-1\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-4+5\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-4\right)+5x\left(x-1\right)\left(x+1\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)+5x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

Do \(\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\) là tích 5 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 5, một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮2.3.5=30\)

Mặt khác: \(x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3

\(\Rightarrow x\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮6\)\(\Rightarrow5x\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮5.6=30\)

\(\Rightarrow x^5-x=\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)+5x\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮30\)

CMTT \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^5-y⋮30\\z^5-z⋮30\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x^5+y^5+z^5\right)-\left(x+y+z\right)⋮30\)

Mà \(x+y+z=2010⋮30\)

\(\Rightarrow x^5+y^5+z^5⋮30\)

EM LÀ CON GÁI HAY TRAI VẬY 

Có: \(x+y+z⋮6\)

\(\Rightarrow x+y+z=6k\left(k\in Z\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=6k-z\\y+z=6k-x\\z+x=6k-y\end{cases}}\)

\(M=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)-2xyz\)

\(\Leftrightarrow M=x^2y+y^2z+z^2y+xy^2+xz^2+x^2z-2xyz-2xyz\)

\(\Leftrightarrow M=xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(z+x\right)\)

\(\Leftrightarrow M=xy\left(6k-z\right)+yz\left(6k-x\right)+xz\left(6k-y\right)\)

\(\Leftrightarrow M=6k\left(xy+yz+zx\right)-3xyz\)

Ta có:\(x+y+z=6k\left(k\in Z\right)\)

\(\Rightarrow\)x+y+z là số chẵn.

\(\Rightarrow\)trong 3 số x;y;z có ít nhất 1 số chẵn

\(\Rightarrow xyz⋮2\)

\(\Rightarrow3xyz⋮6\)

\(M=6k\left(xy+yz+zx\right)-3xyz⋮6\)( vì \(6k\left(xy+yz+zx\right)⋮6\))

đpcm

Ta có: \(x^3-x=\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\)

Tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 nên \(\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮3\)

hay \(x^3-x⋮3\)

Tương tự \(y^3-y⋮3\);\(z^3-z⋮3\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3-\left(x+y+z\right)⋮3\)

Mà \(\left(x+y+z\right)⋮3\left(gt\right)\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮3\left(đpcm\right)\)