Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:Áp dụng C-S dạng engel
\(\frac{3}{xy+yz+xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\ge\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2>14\)
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)
Áp dụng bđt Cô si cho 3 số ta đc
\(\frac{x}{y^2+2}+\frac{y}{z^2+2}+\frac{z}{x^2+2}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz}{\left(y^2+2\right)\left(z^2+2\right)\left(x^2+2\right)}}\)
\(VT\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{27}=}1\)
Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1
p/s : quên cách làm khúc giữa
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số thực ko âm ta đc :
\(\frac{x}{y^2+2}+\frac{y}{z^2+2}+\frac{z}{x^2+2}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz}{\left(y^2+2\right)\left(z^2+2\right)\left(x^2+2\right)}}\)
\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{1+2y^2x^2+2z^2x^2+2z^2y^2+4x^2+4z^2+4y^2+8}}\)( phân tích đa thức thành nhân tử )
\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{9+\frac{2}{z^2}+\frac{2}{y^2}+\frac{2}{x^2}+4x^2+4z^2+4y^2}}\)( vì \(xyz=1\Rightarrow x^2y^2z^2=1\Rightarrow x^2y^2=\frac{1}{z^2}\)các phân số khác chứng minh tương tự )
\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{9+\frac{2+4z^4}{z^2}+\frac{2+4y^4}{y^2}+\frac{2+4x^4}{x^2}}}\)( quy đồng mẫu số ) ( A )
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số thực ko âm ta được :
\(\frac{2+4z^4}{z^2}+\frac{2+4y^4}{y^2}+\frac{2+4x^4}{x^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(2+4z^4\right)\left(2+4y^4\right)\left(2+4x^4\right)}{x^2y^2z^2}}\) ( 1 )
Ta có :
\(2+4x^4\ge2+4.1^4=6\) ( 2 )
\(2+4y^4\ge2+4.1^4=6\) ( vì x^4 , y^4 , z^4 đều là các lũy thừa số mũ chẵn ) ( 3 )
\(2+4z^4\ge2+4.1^4=6\)( 4 )
x^2 . y^2 . z^2 = ( xyz )^2 = 1^2 = 1 ( 5 )
Từ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) , ( 5 ) suy ra :
\(\frac{2+4z^4}{z^2}+\frac{2+4y^4}{y^2}+\frac{2+4x^4}{x^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{6^3}{1}}=18\) ( B )
Thay B vào A ta đc :
\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{9+\frac{2+4z^4}{z^2}+\frac{2+4y^4}{y^2}+\frac{2+4x^4}{x^2}}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{9+18}}=1\)
áp dụngBĐT cô si ta có
\(\frac{x^2}{y+1}\)+\(\frac{y+1}{4}\)\(\ge\)x
\(\frac{y^2}{z+1}\)+\(\frac{z+1}{4}\)\(\ge\)y
\(\frac{z^2}{x+1}\)+\(\frac{x+1}{4}\)\(\ge\)z
khi đó VT\(\ge\)x+y+z-\(\frac{x+y+z+3}{4}\)=\(\frac{3\left(x+y+z\right)-3}{4}\)
áp dụng BĐT cô si
x+y+z\(\ge\)\(3\sqrt[3]{xyz}\)=3
do đó VT\(\ge\)\(\frac{6}{4}\)=\(\frac{3}{2}\) (đpcm)