Lời giải:

Xét hiệu:

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}-\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)+\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)-2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)

\(\ge \frac{1}{2}\left[\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)+3\sqrt[3]{\frac{x^2}{y^2}.\frac{y^2}{z^2}.\frac{z^2}{x^2}}-2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)+3-2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left[(\frac{x}{y}-1)^2+(\frac{y}{z}-1)^2+(\frac{z}{x}-1)^2\right]\geq 0\)

\(\Rightarrow \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

Hoặc:

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2\left(y+z\right)}{4\left(y+z\right)}}=x\)

\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\) ; \(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)

Cộng vế với vế ta có đpcm

Bạn có thể sử dụng BĐT thức Cô-si và xét trường hợp dấu bằng xảy ra nhé bạn !

Câu hỏi của Trần Ngọc Tú - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

\(A=\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\)

\(=\frac{x^4}{xy+2zx}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{zx+2yz}\)

\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=\frac{1}{3}\)

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{x^3}{(y+2z)^2}+\frac{y+2z}{27}+\frac{y+2z}{27}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3}{(y+2z)^2}.\frac{y+2z}{27}.\frac{y+2z}{27}}=\frac{x}{3}$

$\frac{y^3}{(z+2x)^2}+\frac{z+2x}{27}+\frac{z+2x}{27}\geq \frac{y}{3}$

$\frac{z^3}{(x+2y)^2}+\frac{x+2y}{27}+\frac{x+2y}{27}\geq \frac{z}{3}$

Cộng theo vế các BĐT trên và thu gọn thì:
$\sum \frac{x^3}{(y+2z)^2}+\frac{x+y+z}{9}\geq \frac{x+y+z}{3}$

$\Rightarrow \sum \frac{x^3}{(y+2z)^2}\geq \frac{2}{9}(x+y+z)$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$