Mình nghĩ phần phân thức là $3x+3y+2z$ thay vì $3x+3y+3z$. Nếu là vậy thì bạn tham khảo lời giải tại link sau:

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy yz zx=5. Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{3x 3y 2z}{\sqrt{6\left(... - Hoc24

mình cảm ơn bạn nhiều ạ <3 bạn có thể giúp mình mấy câu mình vừa đăng không

Thay \(xy+yz+zx=5\) vào P, ta có:

\(P=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{6\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\(\sqrt{6\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\frac{3\left(x+y\right)+2\left(x+z\right)}{2}\)

\(\sqrt{6\left(y+z\right)\left(y+x\right)}\le\frac{3\left(y+x\right)+2\left(y+z\right)}{2}\)

\(\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\le\frac{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}{2}\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức cùng chiều, ta đươc:

\(\sqrt{6\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{6\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\le\frac{9}{2}x+\frac{9}{2}y+3z\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{3x+3y+2z}{\frac{9}{2}x+\frac{9}{2}y+3z}=\frac{3x+3y+2z}{\frac{3}{2}\left(3x+3y+2z\right)}=\frac{2}{3}\)

Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}3\left(x+y\right)=2\left(y+z\right)=2\left(z+x\right)\\z+y=z+x\\xy+yz+zx=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=1\\z=2\end{cases}}}\)

\(x^2+5=x^2+xy+yz+zx=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

\(\Rightarrow P=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{6\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)

\(P=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{\left(3x+3y\right)\left(2x+2z\right)}+\sqrt{\left(3x+3y\right)\left(2y+2z\right)}+\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)

\(P\ge\frac{2\left(3x+3y+2z\right)}{3x+3y+2x+2z+3x+3y+2y+2z+x+z+y+z}\)

\(P\ge\frac{2\left(3x+3y+2z\right)}{9x+9y+6z}=\frac{2\left(3x+3y+2z\right)}{3\left(3x+3y+2z\right)}=\frac{2}{3}\)

\(P_{min}=\frac{2}{3}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=y=1\\z=2\end{matrix}\right.\)

Từ giả thiết \(xy+yz+zx=5\)

ta có \(x^2+5=x^2+xy+yz+zx=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM , ta có

\(\sqrt{6\left(x^2+5\right)}=\sqrt{6\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\le\frac{3\left(x+y\right)+2\left(z+x\right)}{2}=\frac{5x+3y+2z}{2}\)

CM tương tự ta được \(\sqrt{6\left(y^2+5\right)}\le\frac{3x+5y+2z}{2};\sqrt{z^2+5}\le\frac{x+y+2z}{2}\)

Cộng zế zới zế BĐt trên ta đc

\(\sqrt{6\left(x^2+5\right)}+\sqrt{6\left(y^2+5\right)}+\sqrt{z^2+5}\le\frac{9x+9y+6z}{2}\)

\(=>P=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6\left(x^2+5\right)}+\sqrt{6\left(y^2+5\right)}+\sqrt{x^2+5}}\ge\frac{2\left(3x+3y+2z\right)}{9x+9y+6z}=\frac{2}{3}\)

=> \(GTNN\left(P\right)=\frac{2}{3}khi\left(x=y=1;z=2\right)\)

Ta có \(\sqrt{6\left(x^2+5\right)}+\sqrt{6\left(y^2+5\right)}+\sqrt{z^2+5}=\sqrt{6\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{6\left(y+z\right)\left(y+x\right)}\)\(+\sqrt{6\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\)

\(\le\frac{3\left(x+y\right)+2\left(x+z\right)}{2}+\frac{3\left(x+y\right)+2\left(y+z\right)}{2}+\frac{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}{2}\le\frac{9x+9y+6z}{2}=\frac{3}{2}\)\(\left(3x+3y+2z\right)\)

\(\Rightarrow P=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6\left(x^2+5\right)}+\sqrt{6\left(y^2+5\right)}+\sqrt{z^2+5}}\ge\frac{2}{3}\)

dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1;z=2\)

Vậy \(P_{min}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=y=1;z=2\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\sqrt{6(x^2+5)}=\sqrt{6(x^2+xy+yz+xz)}=\sqrt{6(x+y)(x+z)}=\sqrt{(3x+3y)(2x+2z)}\leq \frac{3x+3y+2x+2z}{2}\)

\(\sqrt{6(y^2+5)}=\sqrt{6(y^2+xy+yz+xz)}=\sqrt{6(y+x)(y+z)}=\sqrt{(3y+3x)(2y+2z)}\leq \frac{3y+3x+2y+2z}{2}\)

\(\sqrt{z^2+5}=\sqrt{z^2+xy+yz+xz}=\sqrt{(z+x)(z+y)}\leq \frac{z+x+z+y}{2}\)

Cộng theo vế thu được:

\(\sqrt{6(x^2+5)}+\sqrt{6(y^2+5)}+\sqrt{z^2+5}\leq \frac{3(3x+3y+2z)}{2}\)

\(\Rightarrow P\geq \frac{3x+3y+2z}{\frac{3}{2}(3x+3y+2z)}=\frac{2}{3}\)

Vậy $P_{\min}=\frac{2}{3}$

Lời giải:

Vì \(xy+yz+xz=5\Rightarrow x^2+5=x^2+xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow x^2+5=(x+y)(x+z)\)

\(\Rightarrow \sqrt{6(x^2+5)}=\sqrt{6(x+y)(x+z)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\sqrt{6(x+y)(x+z)}=\frac{\sqrt{6}}{2}.2\sqrt{(x+y)(x+z)}\leq \frac{\sqrt{6}}{2}(x+y+x+z)\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{6(x^2+5)}\leq \frac{\sqrt{6}}{2}(2x+y+z)\)

Thực hiện tương tự với các hạng tử còn lại suy ra:

\(\sqrt{6(x^2+5)}+\sqrt{6(y^2+5)}+\sqrt{6(z^2+5)}\leq \frac{\sqrt{6}}{2}(4x+2y+4z)=2\sqrt{6}(x+y+z)\)

\(\Rightarrow \frac{3x+3y+3z}{\sqrt{6(x^2+5)}+\sqrt{6(y^2+5)}+\sqrt{6(z^2+5)}}\geq \frac{3(x+y+z)}{2\sqrt{6}(x+y+z)}=\frac{3}{2\sqrt{6}}\)

Vậy min bằng \(\frac{3}{2\sqrt{6}}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{5}{3}}\)