áp dụng bđt bunyakovsky cho 2 bộ số (1;1) và (căn x;căn y) ta có: (1^2+1^2)((căn x)^2 +(căn y)^2)>=(1.căn x=1.căn y)^2

                                                                                              <=>2(x+y)>=(căn x+căn y)^2

                                                                                                <=>A=căn x+căn y<=căn(2(x+y))=căn(2.1)=căn 2

đẳng thức xảy ra <=> (căn x)/1=(căn y)/1 và x+y=1<=>x=y=1/2

vậy maxA=căn 2<=>x=y=1/2

\(S=\sqrt{x-3}+\sqrt{y-4}\)

ĐK:\(x\ge 3;y\ge 4\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(S^2=\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{y-4}\right)^2\)

\(\le\left(1+1\right)\left(x-3+y-4\right)\)

\(=2\left(x+y-7\right)=2\)

\(\Rightarrow S^2\le2\Rightarrow S\le\sqrt{2}\)

\(A=\sqrt{x-3}+\sqrt{y-4}\)

\(\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(x-3+y-4\right)}=\sqrt{2.1}=\sqrt{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\(yz\sqrt{x-1}=yz\sqrt{\left(x-1\right)1}\le yz\frac{\left(x-1\right)+1}{2}=\frac{xyz}{2}\);

\(zx\sqrt{y-4}=\frac{zx}{2}\sqrt{\left(y-4\right)4}\le\frac{zx}{2}\frac{\left(y-4\right)+4}{2}=\frac{xyz}{4}\);

\(xy\sqrt{z-9}=\frac{xy}{3}\sqrt{\left(z-9\right)9}\le\frac{xy}{3}\frac{\left(z-9\right)+9}{2}=\frac{xyz}{6}\)

\(\Rightarrow\frac{yz\sqrt{x-1}+zx\sqrt{y-4}+xy\sqrt{z-9}}{xyz}\le\frac{\frac{xyz}{2}+\frac{xyz}{4}+\frac{xyz}{6}}{xyz}\)\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{11}{12}\)

Vậy \(P_{max}=\frac{11}{12}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=2;y=8;z=18\)

Gọi \(A=\sqrt{x-3}+\sqrt{y-4}\)

Ta có : \(A^2=x-3+y-4=2\sqrt{\left(x-3\right)\left(y-4\right)}=x+y-7+2\sqrt{2\left(x-3\right)\left(y-4\right)}\)

\(=1+2\sqrt{\left(x-3\right)\left(y-4\right)}\)

Theo AM - GM ta có : \(2\sqrt{\left(x-3\right)\left(y-4\right)}\le x-3+y-4=x+y-7=8-7=1\)

\(\Rightarrow A^2\le1+1=2\Rightarrow A\le\sqrt{2}\)Có GTLN là \(\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x-3=y-4\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=-1\\x+y=8\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{7}{2}\\y=\frac{9}{2}\end{cases}}}\)

\(P=\frac{3x-6\sqrt{x}+7}{2\sqrt{x}-2}+\frac{y-4\sqrt{x}+10}{\sqrt{y}-2}\)

\(=\frac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{2}+\frac{4}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}+\left(\sqrt{y}-2\right)+\frac{6}{\sqrt{y-1}}\)

\(=\frac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{2}+\frac{3}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}+\left(\sqrt{y}-2\right)+\frac{4}{\left(\sqrt{y}-2\right)}+\frac{4}{2\left(\sqrt{y}-2\right)}+\frac{1}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(\ge2.\sqrt{\frac{3}{2}.\frac{3}{2}}+2\sqrt{4}+\frac{\left(1+2\right)^2}{2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-3\right)}\)

\(=3+4+\frac{3}{2}=\frac{17}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = 4 và y = 16

x+y=4 nên xảy ra các trường hợp là x=0,y=4 ; x=1,y=3 ; x=2,y=2 ; x=3,y=1 ; x=4,y=0

TH1: x=0,y=4

=>\(\sqrt{-1}\)+\(\sqrt{2}\)thì ko có chuyện đó

TH2: x=1,y=3

=>\(\sqrt{0}\)+\(\sqrt{1}\)bằng 1

TH3:x=2,y=2

=>\(\sqrt{1}\)+\(\sqrt{0}\)bằng 1

TH4:x=3,y=1 bằng 1 bạn tự  tính

TH5: x=4,y=0 thì cũng ko có chuyện đó

Vậy tổng S lớn nhất là 1.

k mình nhé hơi thủ công

Tại mình giải theo kiểu lớp 6 và ... bấm máy tính bạn ah

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}>=0\\\sqrt{y-2}>=0\end{cases}}\)

\(=>\hept{\begin{cases}x-1>=0\\y-2>=0\end{cases}}\)

\(=>\)Chỉ còn 2 trường hợp

TH1:\(\hept{\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}}\)

\(< =>S=\sqrt{2-1}+\sqrt{2-2}\)

\(< =>S=1\)

TH2:\(\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}\)

\(=>S=\sqrt{1-1}+\sqrt{3-2}\)

\(=>S=1\)

Vậy GTLN của S=1, Khi x=2,y=2 hoặc x=1,y=3