3ⁿ⁺⁴+3ⁿ⁺² + 2ⁿ⁺³ + 2ⁿ⁺¹

=  3ⁿ.( 3⁴ + 3²) + 2ⁿ.( 2³+2)

= 3ⁿ.90 + 2ⁿ.10

= 10.( 3ⁿ.9+2ⁿ.5)

vì 10 ⋮ 5 ⇔ 10.( 3ⁿ.9 + 2ⁿ.5) ⋮ 5 ⇔ 3ⁿ⁺⁴+3ⁿ⁺²+2ⁿ⁺²+2ⁿ⁺¹ ⋮ 5(đpcm)

ta có \(\left(2n+4\right)\left(3n+5\right)=2\left(n+2\right)\left(3n+5\right)⋮2\)

Bài 5: 

b: Ta có: \(n+6⋮n+2\)

\(\Leftrightarrow n+2\in\left\{2;4\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;2\right\}\)

c: Ta có: \(3n+1⋮n-2\)

\(\Leftrightarrow n-2\in\left\{-1;1;7\right\}\)

hay \(n\in\left\{1;3;9\right\}\)

5³ⁿ.5²+2²ⁿ.2³=125ⁿ.25+4ⁿ.8

vì 125ⁿ đồng dư với 4ⁿ

^=> dãy trên đồng dư với 4ⁿ  . 25 + 4ⁿ.8=4ⁿ.(8+25)=4ⁿ.33 

vì 33 chia hết cho 11 =>đpcm

\(A=2+2^2+2^3+...+2^{60}\)

    \(=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{59}+2^{60}\right)\)

     \(=2.\left(1+2\right)+2^3.\left(1+2\right)+....+2^{59}.\left(1+2\right)\)

      \(=3.\left(2+2^3+...+2^{59}\right)⋮3\)

Vậy....

\(B=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+...+\left(5^7+5^8\right)\)

    \(=\left(5+5^2\right)+5^2.\left(5+5^2\right)+...+5^6.\left(5+5^2\right)\)

     \(=30.\left(1+5^2+...+5^6\right)⋮30\)

Bài 1 bạn kia giải rồi 

2. Gọi d = ƯCLN(2n+5;3n+7) (\(d\inℕ^∗\) )

=> 2n+5 chia hết cho d ; 3n+7 chia hết cho d

=> 3.(2n+5) chia hết cho d ; 2.(3n+7) chia hết cho d

=> 6n+15 chia hết cho d ; 6n+14 chia hết cho d

=> (6n+15)-(6n+14) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

Mà d thuộc N* nên d = 1

=> ƯCLN(2n+5;3n+7) = 1

Vậy 2n+5 và 3n+7 là hai số nguyên tố cùng nhau

3. Nếu x+2y chia hết cho 5

=> 3.(x+2y) chia hết cho 5

=> 3x+6y chia hết cho 5

Mà 10y chia hết cho 5

=> (3x+6y)-10y chia hết cho 5

=> 3x - 4y chia hết cho 5

=> ĐPCM

Bạn không nên gửi lại câu hỏi quá nhiều lần nha.

Lời giải:
$M=3^{n+3}+3^{n+1}+2^{n+3}+2^{n+2}=3^{n+1}.3^2+3^{n+1}+2^{n+2}.2+2^{n+2}$

$=3^{n+1}(9+1)+2^{n+2}(2+1)$

$=3^{n+1}.10+2^{n+2}.3$

$=6.3^n.5+6.2^{n+1}=6(3^n.5+2^{n+1})\vdots 6$ (đpcm)

bài 2:

2⁵.15-2⁴

=2⁴.2.15-2⁴

=2⁴.30-2⁴

=2⁴.(30-1)

=2⁴.29

đề sai