1, n có dạng 2k+1(n\(\in N\)) Ta có: 

  \(n^2+4n+3=\left(2k+1\right)^2+4\left(2k+1\right)+3\) 

                                 \(=4k^2+4k+1+8k+4+3\) 

                                 \(=4k^2+12k+8\) 

                                 \(=4\left(k^2+3k+2\right)\) 

                                \(=4\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) 

vì (k+1)(k+2) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp \(\Rightarrow\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) chia hết cho 2  

 mà 4(k+1)(k+2)chia hết cho 4 

\(\Rightarrow n^2+4n+3\) chia hết cho 8 với mọi n  là số lẻ. 

2, ta có:  

        \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)\left(ab-bc-ac\right)+3abc\) 

 \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\) (vì a+b+c=0)

a+b+c=0

=>(a+b+c)³=0

=>a³+b³+c³+3a²b+3ab²+3b²c+3bc²+3a²c+3ac²+6abc=0

=>a³+b³+c³+(3a²b+3ab²+3abc)+(3b²c+3bc²+3abc)+(3a²c+3ac²+3abc)-3abc=0

=>a³+b³+c³+3ab(a+b+c)+3bc(a+b+c)+3ac(a+b+c)=3abc

Do a+b+c=0

=>a³+b³+c³=3abc(ĐPCM)

tách hết ra đk đấy

n>4 nữa nha bạn

Ta có:\(A=n^4-4n^3-4n^2+16n\)

\(=\left(n^4-4n^3\right)-\left(4n^2-16n\right)\)

\(=n^3\left(n-4\right)-4n\left(n-4\right)\)

\(=\left(n-4\right)\left(n^3-4n\right)\)

\(=n\left(n-3\right)\left(n^2-4\right)\)

\(=n\left(n-2\right)\left(n+2\right)\left(n-4\right)\)

Do n là số chẵn và n>4 nên đặt  \(n=2k+2\left(k>1\right)\).

\(\Rightarrow A=\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)\left(2k-2\right)2k\)

\(=16k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

\(=16\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Do  \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 4 số nguyên dương liên tiếp nên chúng chia hết cho 2.3.4=24

Vậy A chia hết cho 16*24=384(đpcm)

- Gỉa sử \(x^2+1\) chia hết cho 3 .

=> \(x^2+1\in B_{\left(3\right)}\)

=> \(x^2+1\in\left\{\pm3,\pm6,\pm9,\pm12,\pm15,....\right\}\)

=> \(x^2\in\left\{2,-4,5,-7,8,-10,....\right\}\)

Mà \(x\in N\) .

=> \(x^2\in\left\{2,5,8,11,14,...\right\}\)

=> \(x\in\left\{\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{8},...\right\}\)

Mà \(x\in N\) .

=> \(x\in\left\{\varnothing\right\}\)

Vậy không tồn tại x để \(x^2+1\) chia hết cho 3 hay \(x^2+1\) không chia hết cho 3 với mọi \(x\in N\) .