Gọi \(d=ƯCLN\left(4n+1;5n+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+1⋮d\\5n+1⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}20n+5⋮d\\20n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)

\(\Leftrightarrow d=1\)

Vậy: 4n+1 và 5n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau

1. Đặt \(ƯCLN\left(5n+3,6n+1\right)=d\) với \(d\ne1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5n+3⋮d\\6n+1⋮d\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}30n+18⋮d\\30n+5⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow13⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1,13\right\}\)

Nhưng vì \(d\ne1\) nên \(d=13\). Vậy \(ƯCLN\left(5n+3,6n+1\right)=13\)

2. Gọi \(ƯCLN\left(4n+3,5n+4\right)=d\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+3⋮d\\5n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}20n+15⋮d\\20n+16⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1⋮d\) 

\(\Rightarrow d=1\)

 Vậy \(ƯCLN\left(4n+3,5n+4\right)=1\) nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. (đpcm)

 3: Tương tự 2 nhưng khi đó \(d\in\left\{1,2\right\}\). Nhưng vì cả 2 số \(2n+1,6n+5\) đều là số lẻ nên chúng không thể có ƯC là 2. Vậy \(d=1\)

 4. Tương tự 3.

Bạn nên tách riêng rẽ từng bài ra để đăng cho mọi người quan sát dễ hơn nhé.

Gọi \(ƯC\left(4n-5;5n-6\right)=d\)

\(\Rightarrow4n-5⋮d,5n-6⋮d\)

\(\Rightarrow4\left(5n-6\right)-5\left(4n-5\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\left(20n-24\right)-\left(20n-25\right)⋮d\)

\(\Rightarrow20n-24-20n+25⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy 4n - 5 và 5n - 6 là 2 số nguyên tố cùng nhau.

a) Gọi d là ƯCLN(7n+1;5n+7) => 7n+10 chia hết cho d; 5n+7 chia hết cho d

=>5(7n+10) chia hết cho d; 7(5n+7) chia hết cho d

=>35n+50 chia hết cho d; 35n+49 chia hết cho d

=>(35n+50)-(35n+49) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>7n+10 và 5n+7 nguyên tố cùng nhau với mọi n

b) Gọi m là ƯCLN(2n+3;4n+8) => 2n+3 chia hết cho m;4n+8 chia hết cho m

=>2(2n+3) chia hết cho m => 4n+6 chia hết cho m

=>(4n+8)-(4n+6) chia hết cho m 

=>2 chia hết cho m

=>m thuộc {1;2}

2n+3 là số lẻ => 2n+3 không chia hết cho 2 => m khác 2

=>m=1

=>đpcm

a) Gọi d > 0 \(\in\) ƯC(7n+10;5n+7)
\(\Rightarrow\) d \(\in\) Ư [5.(7n+10) = 35n +50]
và d là ước số của 7(5n+7)= 35n +49 
mà (35n + 50) - (35n +49) =1 
\(\Rightarrow\) d là ước số của 1 \(\Rightarrow\) d = 1 
vậy 7n+10 và 5n+7 nguyên tố cùng nhau. 

b) Gọi d > 0 là ước số chung của 2n+3 và 4n + 8 
\(\Rightarrow\) d \(\in\) Ư [2(2n + 3) = 4n + 6] 
(4n + 8) - (4n + 6) = 2 
\(\Rightarrow\) d \(\in\) Ư(2) \(\Rightarrow\) d \(\in\) {1,2} 
d = 2 không là ước số của số lẻ 2n+3 \(\Rightarrow\) d = 1 
vậy 2n+3 và 4n + 8 nguyên tố cùng nhau. 

 Vây : 2n + 3 va 4n + 8 nguyên tố cùng nhau

Đặt \(d=\left(5n+4,4n+3\right)\).

Suy ra 

\(\hept{\begin{cases}5n+4⋮d\\4n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow4\left(5n+4\right)-4\left(4n+3\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\).

Do đó ta có đpcm. 

a, Gọi ước chung lớn nhất của 7n + 10 và 5n + 7 là d (d\(\in\)N*) 

Ta có : 

7n + 10 \(⋮\)d ; 5n + 7 \(⋮\)d 

=> 5(7n + 10) \(⋮\)d ; 7(5n + 7) \(⋮\)d 

=> (35n + 50) - ( 35n + 49) \(⋮\)d 

=> d = 1 

Vậy 7n + 10 và 5n + 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau

b, Gọi ước chung lớn nhất của 2n + 3 và 4n + 8 là d (d \(\in\)N*) 

Ta có : 

2n + 3 \(⋮\)d ; 4n + 8 \(⋮\)d 

=> 2(2n + 3) \(⋮\)d ; 4n + 8 \(⋮\)d 

=> (4n + 8) - (4n + 6) \(⋮\)d 

=> 2 \(⋮\)d 

=> d \(\in\)Ư(2) = 1;2 

MÀ 2n + 3 là số lẻ nên d = 1 

Vậy 2n+ 3 và 4n + 8 là hai số nguyên tố cùng nhau 

a) đặt ƯCLN(7n+10;5n+7) =d

Suy ra 7n+10 chia hết cho d=>5.(7n+10) chia hết cho d Hay 35n+50 chia hết cho d

           5n+7 chia hết cho d => 7.(5n+7) chia hết cho d Hay 35n+49 chia hết cho d 

Nên (35n+50)  -(35n+49) chia hết cho d

         1 chia hết cho d => d=1

Vậy 7n+10 và 5n+7 là 2SNTCN

b) đặt ƯCLN(2n+3 ; 4n+8 ) =c

Suy ra 2n+3 chia hết cho c =>2.(2n+3) chia hết cho c Hay 4n+6 chia hết cho c

            4n+8 chia hết cho c

Nên (4n+8 -4n+6) chia hết cho c Hay 2 chia hết cho c

=> c thuộc Ư(2)={1;2}

=>ƯCLN ( 2n+3;4n+8 ) = 1 ( vì 2n+3 là số lẻ và 4n+8 là số chẵn)

Vậy 2n+3 và 4n+8 là hai số nguyên tố cùng nhau

NHỚ K MÌNH NHA 

CHÚC BẠN HỌC GIỎI