a)(5n+7)(4n+6)

nếu n=2k =>(5.2k+7)(4.2k+6)=(10k+7)(8k+6)

Vì 8k+6 chia hết cho 2 nên (10k+7)(8k+6) chia hết cho 2   (1)

nếu n=2k+1 =>[5.(2k+1)+7].[4.(2k+1)+6]=(10k+5+7).(8k+4+6)=(10k+12).(8k+10) chia hết cho 2    (2)

Từ (1)  (2) =>(5n+7).(4n+6) luôn chia hết cho 2

=>đpcm

a, Gọi ƯCLN(5n + 3, 3n + 2) = d

Ta có: \(\hept{\begin{cases}5n+3⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}15n+9⋮d\\15n+10⋮d\end{cases}}}\) 

=> 15n + 10 - (15 n + 9) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d thuộc {1;-1}

Vậy...

b, Gọi ƯCLN(4n + 3, 6n + 4) = d

Ta có: \(\hept{\begin{cases}4n+3⋮d\\6n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}12n+9⋮d\\12n+8⋮d\end{cases}}}\)

=> 12n + 9 - (12n + 8) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d thuộc {1;-1}

Vậy...

c, Gọi ƯCLN(12n + 5, 5n + 2) = d

Ta có: \(\hept{\begin{cases}12n+5⋮d\\5n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}60n+25⋮d\\60n+24⋮d\end{cases}}}\)

=> 60n + 25 - (60n + 24) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = {1;-1}

Vậy... 

Gọi d là ƯCLN của 5n + 3 và 3n + 2

Khi đó : 5n + 3 chia hết cho d , 3n + 2 chia hết cho d

=> 15n + 9 chia hết cho d , 15n + 10 chia hết cho d

=> 15n + 10 - 15n - 9 = 1 chia hết cho d

=> d = 1

Vậy 5n + 3 và 3n + 2 nguyên tố cùng nhau .  

a: TH1: n=2k

A=(n+2)(n+5)

=(2k+2)(2k+5)

=2(k+1)(2k+5)\(⋮\)2(1)

TH2: n=2k+1

\(A=\left(n+2\right)\left(n+5\right)\)

\(=\left(2k+1+2\right)\left(2k+1+5\right)\)

\(=\left(2k+3\right)\left(2k+6\right)\)

\(=2\left(k+3\right)\left(2k+3\right)⋮2\)(2)

Từ (1),(2) suy ra \(A⋮2\)

b: TH1: n=3k

\(B=\left(2n+3\right)\left(n+6\right)\left(5n+2\right)\)

\(=\left(2\cdot3k+3\right)\left(3k+6\right)\left(5\cdot3k+2\right)\)

\(=3\left(k+2\right)\left(6k+3\right)\left(15k+2\right)⋮3\left(3\right)\)

TH2: n=3k+1

\(B=\left(2n+3\right)\left(n+6\right)\left(5n+2\right)\)

\(=\left[2\left(3k+1\right)+3\right]\left[3k+1+6\right]\left[5\left(3k+1\right)+2\right]\)

\(=\left(6k+2+3\right)\left(3k+7\right)\left(15k+5+2\right)\)

=(6k+5)(3k+7)(15k+7)

=>B không chia hết cho 3

Vậy: B không chia hết cho 3 với mọi n

\(b=\left(n^2-n\right)\left(n+1\right)\)

\(=\left(n\cdot n-n\cdot1\right)\left(n+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\)

Vì n-1;n;n+1 là ba số nguyên liên tiếp

nên \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮3!\)

=>b chia hết cho 6

\(c=5n^2+5n\)

\(=5n\cdot n+5n\cdot1\)

\(=5n\left(n+1\right)\)

n;n+1 là hai số nguyên liên tiếp

=>\(n\left(n+1\right)⋮2\)

=>\(c=5\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮5\cdot2=10\)

nếu ý bạn là : 5*n = 5xn hoặc 5n thì giải như sau :

a) ta có 5n + 12 = 5n + 10 + 2 = 5(n + 2 ) + 2 vì đã có 5 ( n+ 2 ) chia hết cho n + 2 nên chỉ cần 2 chia hết cho n+2 là được .

vậy chỉ có thể chọn n = 0

b) cũng như cách phân tích như ở phần a ta có : 5n + 7 = 5n + 5 + 2 = 5 ( n + 1 ) + 2     (1)

                                                 tương tự ta có    : 2n + 3 = 2n + 2 + 1 = 2( n + 1 ) + 1       (2)

xét (1 )  ta có 5 (n +1 ) +2 = 5 ( n + 1 ) + (1 + 1) => nếu n = 1 thì (1) có Ư là :   2 và 1

xét (2) ta có 2 ( n + 1 ) + 1 = 2( n + 1 ) + ( 0 + 1 )=>nếu n = 0 thi (2) cóƯ là :  1

vậy (1) và (2) chỉ có 1 Ư chung là 1 nên chúng là 2 số NT cùng nhau 

c) 5n + 12 = 5n + 10 + 2 = 5 ( n + 2 ) + 2 ( đpcm )

giỏi đấy mình cũng làm như thế

1. Cho số nguyên x là 9 (Thỏa mãn x:7, dư 2); 2x+3(giả thuyết)

=> (2.9)+3 = 21 chia hết cho7 (chia hết cho viết bằng ki hiệu nha bạn)

2. 2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^5n-3+2^5n-2+2^5-1

= (2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)+...+(2^5n-5+2^5n-4+2^5n-3+2^5n-2+2^5n-1)

=(1+2+4+8+16)+...+(2^5n-5+2^5n-4+2^5n-3+2^5n-2+2^5n-1) chia hết cho 31

2) Ta có : 2n - 2 = 2(n - 1) chia hết cho n - 1

Nên với mọi giá trị của n thì 2n - 2 đều chia hết cho n - 1

3) Ta có : 5n - 1 chia hết chi n - 2  

=> 5n - 10 + 9 chia hết chi n - 2 

=> 5(n - 2) + 9 chia hết chi n - 2 

=> n - 2 thuộc Ư(9) = {1;3;9}

Ta có bảng : 

1) Ta có : 2n + 3 chia hết cho 3n + 1 

<=> 6n + 9 chia hết cho 3n + 1

<=> 6n + 2 + 7 chia hết cho 3n + 1

=>  7 chia hết cho 3n + 1

=> 3n + 1 thuộc Ư(7) = {1;7}

Ta có bảng : 

Vậy n thuộc {0;2}