Lời giải:

$x^4-4x+5=(x^4-2x^2+1)+(2x^2-4x+2)+2$

$=(x^2-1)^2+2(x-1)^2+2\geq 2>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

Ta có đpcm.

1/ a) \(4x^2+4x+5>0\)

<=> \(\left(4x^2+4x+1\right)+4>0\)
<=> \(\left(2x+1\right)^2+4>0\) (bất đẳng thức đúng với mọi x)

b) \(a^2+ab+b^2\)≥ 0

<=> \(2a^2+2ab+2b^2\) ≥ 0

<=> \(\left(a^2+2ab+b^2\right)+a^2+b^2\) ≥ 0

<=> \(\left(a+b\right)^2+a^2+b^{2^{ }}\) ≥ 0 (bất đẳng thức đúng với mọi a,b)

Dấu "=" xảy ra khi a + b = a = b = 0 hay a = b = 0.

2/

[Mình vẽ hình tượng trưng thôi chứ không đúng đâu nhé]

Xét tam giác ABD và tam giác ACE có

Góc A chung

AB = AC (Tam giác ABC cân tại A)

Góc ABD = góc ACE (=góc B/2 = góc C/2)

Suy ra: Tam giác ABD = tam giác ACE (g.c.g)

=> AE = AD (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác AED cân tại A

△ABC cân tại A

=> góc B = (180^o - góc A)/2 (1)

△AED cân tại A (cmt)

=> góc AED = (180^o - góc A)/2 (2)

Từ (1) và (2) => góc B = góc AED

=> ED //BC

=> Tứ giác BEDC là hình thang

mà góc B = góc C (Tam giác ABC cân tại A)

=> BEDC là hình thang cân.

3/ \(1+x+x^2+x^3=y^3\)

Ta nhận thấy: 1 + x + x² = \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2^{ }}+\dfrac{3}{4}>0\) với mọi x

nên x³ < 1 + x + x² + x³ hay x³ < y³ (1)

Xét hiệu (x+2)³ - y³ = (x+2)³ - (1+x+x²+x³) = 5x² + 11x + 7

= \(5\left(x+\dfrac{11}{10}\right)^{2^{ }}+\dfrac{19}{20}>0\) nên (x+2)³ > y³ (2)

Từ (1) và (2) => x³ < y³ < (x+2)³

=> y³ = (x+1)³ (vì x,y là số nguyên)

hay 1 + x + x² + x³ = (x+1)³

<=> x² + x = 0 <=> x(x+1) = 0 <=> x = 0 hoặc x = -1

* Với x = -1 thì y = 1 + (-1) + (-1)² + (-1)³ = 0

* Với x = 0 thì y = 1 + 0 + 0² + 0³ = 1

Vậy Các số nguyên (x;y) cần tìm là (-1;0); (0;1).

4/ \(\left(x^2-\dfrac{25}{4}\right)^2=10x+1\)

<=> \(x^4-\dfrac{25}{2}x^2+\dfrac{625}{16}=10x+1\)

<=> \(x^4-\dfrac{25}{2}x^2-10x+\dfrac{609}{16}=0\)

<=> \(\left(x^4-\dfrac{7}{2}x^3\right)+\left(\dfrac{7}{2}x^3-\dfrac{49}{4}x^2\right)-\left(\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{7}{8}x\right)-\left(\dfrac{87}{8}x+\dfrac{609}{16}\right)=0\)

<=> \(\left(x-\dfrac{7}{2}\right)\left(x^3+\dfrac{7}{2}x^2-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{87}{8}\right)=0\)

<=> \(\left(x-\dfrac{7}{2}\right)\left[\left(x^3-\dfrac{3}{2}x^2\right)+\left(5x^2-\dfrac{15}{2}x\right)+\left(\dfrac{29}{4}x-\dfrac{87}{8}\right)\right]=0\)

<=> \(\left(x-\dfrac{7}{2}\right)\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(x^2+5x+\dfrac{29}{4}\right)=0\)

<=> \(x-\dfrac{7}{2}=0\) hoặc \(x-\dfrac{3}{2}=0\) (vì \(x^2+5x+\dfrac{29}{4}\)≠ 0)

<=> x = 3.5 hoặc x = 1.5.

x² - 2x + 3 = ( x² - 2x + 1 ) + 2 = ( x - 1 )² + 2 ≥ 2 > 0 ∀ x ( đpcm )

x² - x + 1 = ( x² - x + 1/4 ) + 3/4 = ( x - 1/2 )² + 3/4 ≥ 3/4 > 0 ∀ x ( đpcm )

x² + 4x + 7 = ( x² + 4x + 4 ) + 3 = ( x + 2 )² + 3 ≥ 3 > 0 ∀ x ( đpcm )

-x² + 4x - 5 = -( x² - 4x + 4 ) - 1 = -( x - 2 )² - 1 ≤ -1 < 0 ∀ x ( đpcm )

-x² - x - 1 = -( x² + x + 1/4 ) - 3/4 = -( x + 1/2 )² - 3/4 ≤ -3/4 < 0 ∀ x ( đpcm )

-4x² - 4x - 2 = -4( x² + x + 1/4 ) - 1 = -4( x + 1/2 )² - 1 ≤ -1 < 0 ∀ x ( đpcm )

\(x^2+xy+y^2+1>0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2.x.\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}y^2+\frac{3}{4}y^2+1>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2+1>1\)

=>ĐPCM

\(x^4+x^2+2>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2\right)^2+2x^2.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>\frac{7}{4}\)

=>ĐPCM

\(\left(x+3\right)\left(x-11\right)+2003>0\)

\(\Leftrightarrow x^2-8x-33+2003>0\)

\(\Leftrightarrow x^2-8x+16+1954>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2+1954>1954\)

=>ĐPCM

\(-9x^2+12x-15< 0\)

\(\Leftrightarrow-\left(3x^2+2.3.2x+4+11\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow-\left[\left(3x+2\right)^2+11\right]< 11\)

=>ĐPCM

\(-5-\left(x-1\right)\left(x+2\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow-5-\left(x^2-x-2\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow-5-\left(x^2-2x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{9}{4}\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow-5-\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right]< \frac{-11}{4}\)

=>ĐPCM

b) Ta có: \(-x^2+x-1\)

\(=-\left(x^2-x+1\right)\)

\(=-\left(x^2-2\cdot x\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\right)\)

\(=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}\)

Ta có: \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}\le-\frac{3}{4}< 0\forall x\)

hay \(-x^2+x-1< 0\forall x\)

c) Ta có: \(-9x^2+12x-5\)

\(=-\left(9x^2-12x+5\right)\)

\(=-\left[\left(3x\right)^2-2\cdot3x\cdot2+4+1\right]\)

\(=-\left(3x-2\right)^2-1\)

Ta có: \(\left(3x-2\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(3x-2\right)^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(3x-2\right)^2-1\le-1< 0\forall x\)

hay \(-9x^2+12x-5< 0\forall x\)(đpcm)

mk hỏi A ngược là gì z

a. \(\frac{4x+3}{x^2+1}-4\le0\Leftrightarrow\frac{4x+3-4\left(x^2+1\right)}{x^2+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\left(4x^2+4x+1\right)-1}{x^2+1}\Leftrightarrow\frac{-\left(2x+1\right)^2-1}{x^2+1}\)

mà \(-\left(2x^2+1\right)^2-1\le-1\)\(x^2+1\ge1\)

đpcm

xin lỗi, nhưng bạn ns rõ hơn đc ko