Giả sử ΔABC cân tại A có hai đường trung tuyến BM và CN, ta cần chứng minh BM = CN.

Ta có: AC = 2.AM, AB = 2. AN, AB = AC (vì ΔABC cân tại A)

⇒ AM = AN.

Xét ΔABM và ΔACN có:

AM = AN

AB = AC

Góc A chung

⇒ ΔABM = ΔACN (c.g.c) ⇒ BM = CN (hai cạnh tương ứng).

(Còn một số cách chứng minh khác, nhưng do giới hạn kiến thức lớp 7 nên mình xin sẽ không trình bày.)

Giả sử ∆ABC  cân tại A có hai đường trung tuyến BM và CN, ta chứng minh BM = CN

Vì ∆ ABC cân tại A=>  AB = AC mà M, N là trung điểm AC, AB nên CM = BN

Do đó ∆CMB ;∆BNC có:

BC chung

CM = BN (cm trên)

AB = AC (∆ABC  cân)

=> BM = CN (đpcm)

Giả sử ∆ABC  cân tại A có hai đường trung tuyến BM và CN, ta chứng minh BM = CN

Vì ∆ ABC cân tại A=>  AB = AC mà M, N là trung điểm AC, AB nên CM = BN

Do đó ∆CMB ;∆BNC có:

BC chung

CM = BN (cm trên)

AB = AC (∆ABC  cân)

=> BM = CN

Giả sử ∆ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BM và CN, ta chứng minh BM = CN

Vì ∆ ABC cân tại A=> AB = AC mà M, N là trung điểm AC, AB nên CM = BN

Do đó ∆CMB ;∆BNC có:

BC chung

CM = BN (cm trên)

AB = AC (∆ABC cân)

=> BM = CN

-Tam giác ABC cân tại A  có BE và CD là 2 đtt

=> AB=AC => AE=AD

Xét tgABE , tgACD có góc A chung , AE=AD,AB=AC

=> ABE=ACD (c g c)

=>BE=CD

-Tam giác ABC có BE và CD là 2 đtt bằng nhau và cắt tại G

=> EG=DG , BG=CG

\(\Delta DGB\),\(\Delta EGC\) có gocDGB = gocEGC ( 2 góc đối đình) EG=DG, BG=CG

=>\(\Delta DGB\)=\(\Delta EGC\)(c.g.c)

=>BD=EC

Xét \(\Delta EBC\) và \(\Delta DCB\)  có: BE=CD , BC chung, BD=EC

=>\(\Delta EBC\)=\(\Delta DCB\) (c.c.c)

=>\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)

=> TgABC cân tại A (đpcm)

#\(N\)

`a,` `GT: AB = AC,` \(\widehat{B}=\widehat{C}\)

`CM: BB' = C``C'`

`BB'` là đường trung tuyến

`-> B'` là trung điểm của `AC`

`-> AB' = B'C` 

`C``C'` là đường trung tuyến

`-> C'` là trung điểm của `AB`

`-> AC' = C'B`

Tam giác `ABC` cân tại `A`

`-> AB = AC`

`-> AC' = AB' = C'B = B'C`

Xét Tam giác `BB'C` và Tam giác `C``C'B:`

`C'B = B'C`

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)

`BC` chung

`=>` Tam giác `BB'C =` Tam giác `C``C'B (c-g-c)`

`=> BB' = C``C' (2` cạnh tương ứng `) (đpcm)`

`b, GT: AB' = B'C ; AC'=C'B ; C``C' = BB'`

`KL:` Tam giác `ABC` cân

`BB', C``C'` là đường trung tuyến

giả sử: `BB'` cắt `C``C'` tại `G`

`-> G` là trọng tâm của Tam giác `ABC`

`-> GB = 2/3 BB'`

`-> GC = 2/3 C``C'`

`BB' = C``C' -> GB = GC`

`->` Tam giác `GBC` cân tại `G`

`->`\(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) 

Xét Tam giác `BB'C` và Tam giác `C``C'B` có:

`BB' = C``C'`

\(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\)

`BC` chung

`=>`Tam giác `BB'C =` Tam giác `C``C'B (c-g-c)`

`-> BC' = B'C`

`-> 1/2 AB = 1/2 AC`

`-> AB = AC`

`->` Tam giác `ABC` cân tại `A (đpcm)`.

giúp mình với

Gọi BM, CN là 2 đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow \)MA = MC = \(\dfrac{1}{2}\)AC; NA = NB = \(\dfrac{1}{2}\)AB

Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên AB = AC ( tính chất)

Do đó, AM = MC = NA = NB

Xét \(\Delta \)ANC và \(\Delta \)AMB, ta có:

AN = AM

\(\widehat A\) chung

AC = AB

\( \Rightarrow \)\(\Delta \)ANC = \(\Delta \)AMB (c.g.c)

\( \Rightarrow \) NC = MB ( 2 cạnh tương ứng)

Vậy 2 đường trung tuyến ứng với 2 cạnh bên của tam giác cân là hai đoạn thẳng bằng nhau.

Vì \(∆ABC\) có hai đường trung tuyến \(BM\) và \(CN\) cắt nhau ở \(G\)

\(\Rightarrow \) \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

\(\Rightarrow  GB = \dfrac{2}{3}BM\); \(GC = \dfrac{2}{3}CN\) ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác)

Mà \(BM = CN\) (giả thiết) nên \(GB = GC.\)

Tam giác \(GBC\) có \(GB = GC\) nên \(∆GBC\) cân tại \(G\).

\(\Rightarrow \) \(\widehat{GCB} = \widehat{GBC}\) (Tính chất tam giác cân).

Xét \(∆BCN\) và \(∆CBM\) có: 

+) \(BC\) là cạnh chung

+) \(CN = BM\) (giả thiết)

+) \(\widehat{GCB} = \widehat{GBC}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(∆BCN = ∆CBM\) (c.g.c)

 \(\Rightarrow \) \(\widehat{NBC} = \widehat{MCB}\) (hai góc tương ứng).

\(\Rightarrow ∆ABC\) cân tại \(A\) (tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân)