Do vai trò của a;b;c là hoàn toàn như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc\ge b^2+ac\Leftrightarrow\frac{a}{c}+1\ge\frac{b}{c}+\frac{a}{b}\) (chia 2 vế cho bc)

Tương tự: \(\frac{c}{a}+1\ge\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\) (chia 2 vế cho ab)

Cộng vế với vế: \(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+2\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\)

\(\Rightarrow VT\le2\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+2\)

Nên ta chỉ cần chứng minh: \(2\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+2\le7\Leftrightarrow\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\le\frac{5}{2}\)

Do \(1\le c\le a\le2\Rightarrow1\le\frac{a}{c}\le2\)

Đặt \(\frac{a}{c}=x\Rightarrow1\le x\le2\)

Ta cần chứng minh: \(x+\frac{1}{x}\le\frac{5}{2}\Leftrightarrow2x^2-5x+2\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(x-2\right)\le0\) (luôn đúng với \(x\in\left[1;2\right]\))

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;1\right);\left(2;1;1\right)\) và hoán vị

Vậy là mình làm sai rồi :(

toán GPT thì còn tạm đc

sory vì em đang học lớp 6

minh biet lam cau b)

ke phan giac AD  , BM vuong goc AD , CN vuong goc AD

sin \(\frac{A}{2}\) =\(\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}=\frac{BM+CN}{AB+AC}\)

ma BM\(\le BD,CN\le CD\Rightarrow BM+CN\le BC\)

=> sin \(\frac{A}{2}\le\frac{BC}{AB+AC}\le\frac{a}{b+c}\)

dau = xay ra  <=> AD vuong goc BC  => AD la duong phan giac ,la  duong cao  => tam giac ABC can tai  A => AB=AC => b=c

tương tự sin \(\frac{B}{2}\le\frac{b}{a+c};sin\frac{C}{2}\le\frac{c}{a+b}\)

=>\(sin\frac{A}{2}\cdot sin\frac{B}{2}\cdot sin\frac{C}{2}\le\frac{a\cdot b\cdot c}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\)

ap dung cosi cjo 2 so duong   b+c\(\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ac};a+b\ge2\sqrt{ab}\)

=> \(\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\ge8abc\)

\(\Rightarrow sin\frac{A}{2}\cdot sin\frac{B}{2}\cdot sin\frac{C}{2}\le\frac{abc}{8abc}=\frac{1}{8}\)

dau = xay ra <=> a=b=c hay tam giac ABC deu

nhìn bài toán kho hiểu nhỉ ???

cảm ơn anh ạ

\(3=a+b+ab\le a+b+\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2+4\left(a+b\right)-12\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-2\right)\left(a+b+6\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a+b-2\ge0\Rightarrow a+b\ge2\)

Ta có:

BĐT\(\Leftrightarrow\frac{3a^2+3a+3b^2+3b}{\left(b+1\right)\left(a+1\right)}+\frac{ab}{a+b}\le a^2+b^2+\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3a^2+3b^2+3a+3b}{4}+\frac{ab}{a+b}\le a^2+b^2+\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow3a+3b+\frac{4ab}{a+b}\le a^2+b^2+6\)

\(\Leftrightarrow3a+3b+\frac{4ab}{a+b}\le a^2+b^2+2\left(ab+a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a+b+\frac{4ab}{a+b}\le\left(a+b\right)^2\)

Ta có:

\(VT=a+b+\frac{4ab}{a+b}\le a+b+\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b}=2\left(a+b\right)\le\left(a+b\right)\left(a+b\right)=\left(a+b\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)