Bằng phản chứng giả sử a và b đều âm 

\(\Rightarrow a< 0,b< 0\Rightarrow a+b< 0\)

Mà theo đề: \(a+b>0\)---> Mâu thuẫn giả thiết, vậy có ít nhất 1 trong a,b phải dương

Tham khảo:

Gỉa sử : a+b+c> 1/a + 1/b + 1/c nhưng không thỏa mãn một và chỉ một trong 3 số a,b,c lớn hơn 1

*TH1:Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 1 hoặc đều nhỏ hơn 1 suy ra mâu thẫn( vì abc=1)

*TH2: có 2 số lớn hơn 1

Gỉa sử: a>1, b>1, c<1 <=> a-1>0 , b-1>0 , c-1<0

=> (a-1)(b-1)(c-1)<0 

=>abc+a+b+c-(ab+bc+ca)-1<0

<=>a+b+c<ab+bc+ca 

<=>a+b+c<abc/c+abc/a+abc/b 

Thay abc=1 ta được:

a+b+c<1/a+1/b+1/c(mâu thuẫn với giả thuyết nên điều giả sử sai)

=>đpcm

 Trường hợp 1: Giả sử ba số $a$, $b$, $c$ đều lớn hơn $1$ hoặc ba số $a$, $b$, $c$ đều nhỏ hơn $1$.

Khi đó a.b.c \ne 1
 a.b.c $\ne 1$ (trái với giả thiết).

 Trường hợp 2: Giả sử hai trong ba số $a$, $b$, $c$ lớn hơn 1.

Không mất tính tổng quát, giả sử $a>1$ và $b>1$.

Vì $a.b.c=1$ nên $c\; <1$ do đó:

     $(a-1).(b-1).(c-1)<0$

$\iff abc+a+b+c-ab-ac-ca-1<0$

$\iff a+b+c-ab-ac-ca<0$

$\iff a+b+c<ab+ac+ca$

$\iff$a + b + c < $\backslash (\backslash dfrac\{abc\}\{c\}\backslash )$ + \(\dfrac{abc}{a}\) + \(\dfrac{abc}{b}\)

⇔ a + b + c < \(\dfrac{1}{c}\) + \(\dfrac{1}{a}\) + \(\dfrac{1}{b}\) (mâu thuẫn với giả thiết)

Vậy chỉ có một và chỉ một trong ba số $a$, $b$, $c$ lớn hơn $1$

Bài toán cơ bản:

\(abc=1\Rightarrow\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ac+c+1}=1\) 

Bunhiacopxki:

\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\dfrac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\dfrac{c}{\left(ac+c+1\right)^2}\right)\ge\left(\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ac+c+1}\right)^2=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\dfrac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\dfrac{c}{\left(ac+c+1\right)^2}\ge\dfrac{1}{a+b+c}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

nhầm

Tl

Bạn T i k 3 lần cho mình mình trả lời cho

#Kirito

Ta có : xy + x + y = -1

=> x(y + 1) + y + 1 = -1 + 1

=> (x + 1)(y + 1) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}x+1=0\\y+1=0\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}x=-1\\y=-1\end{cases}}\)(đpcm) 

Vậy nếu xy + x + y = - 1 thì có ít nhất 1 số bằng - 1

xy + x + y = -1

<=> xy + x + y + 1 = 0

<=> x( y + 1 ) + 1( y + 1 ) = 0

<=> ( x + 1 )( y + 1 ) = 0

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+1=0\\y+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\y=-1\end{cases}}\) ( đpcm )

Gs a+b+c>1/a+1/b+1/c nhưng không t/m một và chỉ một trong 3 số a,b,c lớn hơn 1 TH1:Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 1 hoặc đều nhỏ hơn 1 suy ra mâu thẫn( vì abc=1) TH2 có 2 số lớn hơn 1 Gs a>1,b>1,c<1 suy ra a-1>0,b-1>0,c-1<0 suy ra (a-1)(b-1)(c-1)<0 suy ra abc+a+b+c-(ab+bc+ca)-1<0 suy ra a+b+c<ab+bc+ca suy ra a+b+c<abc/c+abc/a+abc/b suy ra a+b+c<1/a+1/b+1/c(mâu thuẫn với giả thuyết nên điều giả sử sai) suy ra đpcm