Ta thấy:

1/2²<1/1*2; 1/3^2<1/2*3;...;1/2^11<1/10*11

=> tổng đó nhỏ hơn 1/1*2+1/2*3+...+1/10*11

= 1-1/2+1/2-1/3+...+1/10-1/11

=1-1/11<1

=> tổng đó nhỏ hơn 1

\(1+^2+4^3+......+4^{10}+4^{11}\)

\(=\left(1+4\right)+\left(4^2+4^3\right)+.....+\left(4^{10}+4^{11}\right)\)

Nhận xét : Tất cả các tổng trong tổng trên đều chia hết cho 5. Vậy tổng \(1+^2+4^3+......+4^{10}+4^{11}\) chia hết cho 5

\(7+7^2+7^3+.....+7^{102}\)

\(=\left(7+7^2\right)+\left(7^3+7^4\right)+....+\left(7^{101}+7^{102}\right)\)

Nhận xét : Tất cả các tổng trong tổng trên đều chia hết cho 8. Vậy tổng \(7+7^2+7^3+.....+7^{102}\) chia hết cho 8

a, \(1+4+4^2+...+4^{11}\)

Đặt : \(S=1+4+4^2+...+4^{11}\)

Ta có : Số số hạng của dãy số S chính là số số hạng của dãy số cách đều từ 0 --> 11 mỗi số cách nhau 1 đơn vị

=> Số số hạng của S là : \(\frac{11-0}{1}+1=12\) ( số hạng )

Vậy ta có số nhóm là :

12 : 2 = 6 ( nhóm ) :

\(S=\left(1+4\right)+\left(4^2+4^3\right)+...+\left(4^{10}+4^{11}\right)\) ( 6 nhóm )

\(\Rightarrow S=\left(1+4\right)+4^2\left(1+4\right)+...+4^{10}\left(1+4\right)\)

\(\Rightarrow S=1.5+4^2.5+...+4^{10}.5\)

\(\Rightarrow S=\left(1+4^2+...+4^{10}\right).5\)

Mà : \(1+4^2+...+4^{10}\in N\Rightarrow S⋮5\)

---------

Tương tự để chứng minh S chia hết cho 21 ta có số nhóm là :

12 : 3 = 4 ( nhóm )

\(S=\left(1+4+4^2\right)+...+\left(4^9+4^{10}+4^{10}\right)\) ( 4 nhóm )

\(\Rightarrow S=\left(1+4+4^2\right)+...+4^9\left(1+4+4^2\right)\)

\(\Rightarrow S=1.21+...+4^9.21\)

\(\Rightarrow S=\left(1+...+4^9\right).21\)

Mà : \(1+...+4^9\in N\Rightarrow S⋮21\)

b, \(7+7^2+7^3+...+7^{102}\)

Đặt : \(M=7+7^2+7^3+...+7^{102}\)

Ta có : Số số hạng của dãy số M chính là số số hạng của dãy số cách đều từ 1 --> 102 mỗi số cách nhau 1 đơn vị

=> Số số hạng của M là : \(\frac{102-1}{1}+1=102\) ( số hạng )

Vậy có tất cả số nhóm là :

102 : 2 = 51 ( nhóm )

\(M=\left(7+7^2\right)+\left(7^3+7^4\right)+...+\left(7^{101}+7^{102}\right)\)

\(\Rightarrow M=\left(7+7^2\right)+7^2\left(7+7^2\right)+...+7^{100}\left(7+7^2\right)\)

\(\Rightarrow M=1.56+7^2.56+...+7^{100}.56\)

\(\Rightarrow M=\left(1+7^2+...+7^{100}\right).56\)

Vì : 56 = 8.7 . Mà : \(1+7^2+...+7^{100}\in N\Rightarrow M⋮8\)

giup mk

Hình như sai đề bài đó

a, S = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰. 2S = 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹ => 2S - S = S = (2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹) - (2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰) = 2¹⁰¹ - 2. Vậy S = 2¹⁰¹ - 2. b, S = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ = (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... + (2⁹⁹ + 2¹⁰⁰) = 2.(1 + 2) + 2³.(1 + 2) + ... + 2⁹⁹.(1 + 2) = (1 + 2).(2 + 2³ + ... + 2⁹⁹) = 3.(2 + 2³ + ... + 2⁹⁹) => S ⋮ 3. Vậy S ⋮ 3 (đpcm)

Có : 126 chia hết cho 3, 213 chia hết cho 3

Để được M chia hết cho 3 thì x phải chia hết cho 3

Hay gọi là 3k ( k thuộc N)

2.

Hình như đầu bài bài 2 sai

dung do khong sai dau

Lần sau viết cái đề rõ rõ ra nhs!!!

a) \(A=2+2^2+2^3+................+2^{100}\)

\(\Rightarrow2A=2^2+2^3+2^4+................+2^{100}+2^{101}\)

\(\Rightarrow2A-A=\left(2^2+2^3+..............+2^{100}+2^{101}\right)-\left(2+2^2+............+2^{100}\right)\)

\(\Rightarrow A=2^{101}-2\)

b) \(B=1+3+3^2+..................+3^{2009}\)

\(\Rightarrow3B=3+3^2+3^3+..................+3^{2009}+3^{2010}\)

\(\Rightarrow3B-B=\left(3+3^2+...............+3^{2010}\right)-\left(1+3+3^2+.............+3^{2009}\right)\)

\(\Rightarrow2B=3^{2010}-1\)

\(\Rightarrow B=\dfrac{3^{2010}-1}{2}\)

c) \(C=4+4^2+4^3+................+4^n\)

\(\Rightarrow4C=4^2+4^3+.................+4^n+4^{n+1}\)

\(\Rightarrow4C-C=\left(4^2+4^3+.............+4^n+4^{n+1}\right)-\left(4+4^2+............+4^n\right)\)

\(\Rightarrow3C=4^{n+1}-4\)

\(\Rightarrow C=\dfrac{4^{n+1}-4}{3}\)

thanks

a) 7⁶ + 7⁵ - 7⁴=7⁴.7²+7⁵.7-7⁴.1 =7⁴.(7²+7-1)=7⁴.55

vì 55 chia hết cho 11 nên 7⁴.55 cũng chia hết cho 11

=> 7⁶ + 7⁵ - 7⁴ chia hết cho 11

b)27⁸ - 3²¹=(3³)⁸-3²¹=3²⁴-3²¹=3²¹.3³-3²¹.1=3²¹.(3³-1)=3²¹.26

=>27⁸ - 3²¹ chia het cho 26

c) 8¹² - 2 ³³ - 2³⁰

=(2³)¹²-2³³-2³⁰=2³⁶-2³³-2³⁰=2³⁰.2⁶-2³⁰.2³-2³⁰.1=2³⁰.(2⁶-2³-1)

                                                                     =2³⁰.55

=> 8¹² - 2 ³³ - 2³⁰ chia het cho 55

a) 7⁶ + 7⁵ - 7⁴ = 7⁴.(7² + 7 -1) = 7⁴.5.11

Vậy chia hết cho 11