Vì 6=23 và (2.3)=1

Ta có:

n^3+3n^2+n=n^2(n+1)+2n(n+1) =n(n+1)(n+2)

Nhận thấy n(n+1)(n+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp

suy ra Tồn tại 1 số chia hết cho 2 (vì n(n+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp)   (với mọi số nguyên n)

Tồn tại 1 số chia hết cho 3 (vì n(n+1)(n+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp)

suy ra n(n+1)(n+2) chia hết cho 2,3

hay n^3+3n^2+2n chia hết cho 6

suy ra ĐPCM

trong 2 số tự nhiên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 2

=>n(n+1)(2n+1) chia hết cho 2

xét n=3k=>n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3 (I)

xét n=3k+1=>2n+1=3.2k+2+1=3.2k+3=3(2k+1) chia hết cho 3

=>n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3 (II)

xét n=3k+2=>n+1=3k+3=3(k+3) chia hết cho 3

=>n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3 (III)

từ (I);(II);(III)=>n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3

vì (2;3)=1=>n(n+1)(2n+1) chia hết cho 6

=>đpcm

trong 2 số tự nhiên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 2

=>n(n+1)(2n+1) chia hết cho 2

xét n=3k=>n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3 (I)

xét n=3k+1=>2n+1=3.2k+2+1=3.2k+3=3(2k+1) chia hết cho 3

=>n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3 (II)

xét n=3k+2=>n+1=3k+3=3(k+3) chia hết cho 3

=>n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3 (III)

từ (I);(II);(III)=>n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3

vì (2;3)=1=>n(n+1)(2n+1) chia hết cho 6

=>đpcm

Gọi ƯCLN (2n+3,3n+4) là d

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\3n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+9⋮d\\6n+8⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow6n+9-\left(6n+8\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\)2n+3 và 3n+4 nguyên tố cùng nhau

ban oi tai sao lai lam nhu vay

ảnh đại diện là phượng hoàng băng ak

uk tui choi bang bang zing me