Bài 1 A=xyz+xz-zy-z+xy+x-y-1

thay các gtri x=-9, y=-21 và z=-31 vào là đc

=> A=-7680

Bài 2:a) n³ + 3n² + 2n = n²(n + 1) + 2n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)
số chia hết cho 6 là số chia hết cho 2 và 3
mà (n + 1) chia hết cho 2 và 3 với mọi số nguyên n
(n + 2) chia hết cho 2 và 3 với mọi số nguyên n
=>n³ + 3n² + 2n luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

b) 49ⁿ+77ⁿ-29ⁿ-1

=\(49^n-1+77^n-29^n\)

=\(\left(49-1\right)\left(49^{n-1}+49^{n-2}+...+49+1\right)+\left(77-29\right)\left(79^{n-1}+..+29^n\right)\)

=48(\(49^{n-1}+...+1+77^{n-1}+...+29^{n-1}\))

=> tích trên chia hết 48

c) 35x-14y+2⁹-1=7(5x-2y)+7.73

=7(5x-2y+73) tích trên chia hết cho 7

=. ĐPCM

$\text{Ta coˊ :}\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{xy+x+1}+\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{yz+y+1}+\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{xz+z+1}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{xy+x+1}+\genfrac{}{}{0ex}{}{xy}{xyz+xy+x}+\genfrac{}{}{0ex}{}{xyz}{x^{2}yz+xyz+xy}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{xy+x+1}+\genfrac{}{}{0ex}{}{xy}{xy+x+1}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{xy+x+1}\left(\text{Vıˋ }xyz=1\right)$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{x+xy+1}{xy+x+1}$

$=1$

Đề sai

12345678

\(A=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)\left(a+5\right)\left(a+6\right)+36\)

\(A=a\left(a+6\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)\left(a+5\right)\left(a+1\right)+36\)

\(A=\left(a^2+6a\right)\left(a^2+6a+8\right)\left(a^2+6a+5\right)+36\)

Đặt t = a² +6a. Khi đó phương trình trở thành:

\(A=t\left(t+8\right)\left(t+5\right)+36\)

\(A=t\left(t^2+13t+40\right)+36\)

\(A=t^3+13t^2+40t+36\)

\(A=t^3+2t^2+11t^2+22t+18t+36\)

\(A=t^2\left(t+2\right)+11t\left(t+2\right)+18\left(t+2\right)\)

\(A=\left(t+2\right)\left(t^2+11t+18\right)\)

\(A=\left(t+2\right)\left(t^2+2t+9t+18\right)\)

\(A=\left(t+2\right)\left[t\left(t+2\right)+9\left(t+2\right)\right]\)

\(A=\left(t+2\right)\left(t+2\right)\left(t+9\right)\)

\(A=\left(t+2\right)^2\left(t+9\right)\)

Thế t = a² + 6a vào A ta được:

\(A=\left(a^2+6a+2\right)^2\left(a^2+6a+9\right)\)

\(A=\left(a+3\right)^2\left(a^2+6a+2\right)^2\)

\(A=\left[\left(a+3\right)\left(a^2+6a+2\right)\right]^2\)

Vậy với mọi số nguyên a thì giá trị của biểu thức A luôn là một số chính phương

Gọi n số nguyên liên tiếp là k+1;k+2;k+3;...;k+nk+1;k+2;k+3;...;k+n

Ta cần chứng minh (k+1)(k+2)...(k+n)⋮n!(k+1)(k+2)...(k+n)⋮n!

Cách 1. Ta có (nk)∈Z,∀n,k∈Z(nk)∈Z,∀n,k∈Z

Mà (nk+n)=(n+k)!k!n!=(k+1)(k+2)...(k+n)n!∈Z(nk+n)=(n+k)!k!n!=(k+1)(k+2)...(k+n)n!∈Z nên ta có đpcm.

Cách 2. Ta có: vp(n!+k!)≥vp(n!)+vp(k!)=vp(n!.k!)vp(n!+k!)≥vp(n!)+vp(k!)=vp(n!.k!)

Do đó (n+k)!⋮n!k!(n+k)!⋮n!k!, suy ra đpcm.

Chứng minh công thức ở trên:

Do [a+b]≥[a]+[b][a+b]≥[a]+[b] nên vp(n!+k!)=+∞∑i=1[n!+k!pi]≥+∞∑i=1[n!pi]++∞∑i=1[k!pi]=vp(n!)+vp(k!)vp(n!+k!)=∑i=1+∞[n!+k!pi]≥∑i=1+∞[n!pi]+∑i=1+∞[k!pi]=vp(n!)+vp(k!)

P/s: 2 cách này là như nhau nhưng ở cách 2 không cần biết đến số tổ hợp chập k của n phần tử (nk)(nk) nhưng lại cần biết vp(n)vp(n).

Đặt  \(A=n^6+n^4-2n^2=n^2(n^4-n^2-2)\)

          \(=n^2(n^4-1+n^2-1)\)

          \(=n^2\left[(n^2-1)(n^2+1)+n^2-1\right]\)

          \(=n^2(n^2-1)(n^2+2)\)

          \(=n\cdot n(n-1)(n+1)(n^2+2)\)

           + Nếu n chẵn ta có n = 2k \((k\in N)\)

\(A=4k^2(2k-1)(2k+1)(4k^2+2)=8k^2(2k-1)(2k+1)(2k^2+1)\)

\(\Rightarrow A⋮8\)

+ Nếu n lẻ ta có n = 2k + 1 \((k\in N)\)

\(A=(2k+1)^2\cdot2k(2k+2)(4k^2+4k+1+2)\)

\(=4k(k+1)(2k+1)^2(4k^2+4k+3)\)

k(k + 1) chia hết cho 2 vì là tích hai số liên tiếp 

\(\Rightarrow A⋮8\)

Do đó A chia hết cho 8 với mọi \(n\in N\)

* Nếu n chia hết cho 3 thì A chia hết cho 9. Nên A chia hết cho 72. 
* Nếu n không chia hết cho 3 thì \(n^2\) là số chính phương nên chia 3 dư 1 (vì số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1). 
Suy ra \(n^2+2\) chia hết cho 3. Mà n (n – 1)(n + 1) là tích 3 số liên tiếp nên có số chia hết cho 3. Suy ra A chia hết cho 9. Do đó A chia hết cho 72. 
Vậy A chia hết cho 72 với mọi n \(\in N\)

Chúc bạn học tốt :>

TH1: n chia hết cho 3

=> n² + n chia hết cho 3 

Mà 2 chia 3 dư 2

=> n² + n + 2 chia 3 dư 2

TH2: n chia 2 dư 1

=> n² chia 3 dư 1

=> n² + n chia 3 dư 2

Mà 2 chia 3 dư 2

=> n² + n + 2 chia 3 dư 1

TH3: n chia 3 dư 2

=> n² chia 3 dư 1

=> n² + n chia hết cho 3

Mà 2 chia 3 dư 2

=> n² + n + 2 chia 3 dư 2

KL: Vậy với mọi số nguyên n thì n² + n + 2 không chia hết cho 3 (đpcm)

Hồ Thu Giang ơi ! Bạn xem kĩ bài đi, sai 1 số chỗ đấy ! 

\(5n^3+15n^2+10n\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)

Ta có : \(x;x+1;x+2\)là 3 số tự nhiên liên tiếp 

=> \(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)chia hết cho 2 ; 3 ; 6 => \(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)chia hết cho 30 ( đpcm )

\(A=5n^3+15n^2+10n\)

\(=5n^3+5n^2+10n^2+10n\)

\(=5n^2\left(n+1\right)+10n\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left(5n^2+10n\right)\)

\(=5n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

do \(n;n+1;n+2\)là 3 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow n;n+1;n+2\)chia hết cho 6

\(\Rightarrow A\)chia hết cho 5 và 6

mà 5 và 6 là 2 số nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow A\)chia hết cho 30 (dpcm)

Chúc pn hk tốt ^-^

\(\left[...\right]=\left[n+\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\right]=\left[n+1-\frac{1}{n+1}\right]=\left[n+\frac{n}{n+1}\right]\)

Do n dương nên \(\frac{n}{n+1}< 1\)\(\Rightarrow\)\(\left[n+\frac{n}{n+1}\right]=n\)