Câu hỏi của Trần Lê Bảo Châu

Question

chứng minh rằng a^7 - a chia hết cho 7.

nhờ mọi người giải thích rõ giúp em ạ.Em cảm ơn

Lê Song Phương · Accepted Answer

Cách 1: Cái này là định lý Fermat nhỏ thôi bạn. Tổng quát hơn:

Cho số nguyên dương a và số nguyên tố p. Khi đó $a^p\equiv a\left[p\right]$

Ta chứng minh định lý này bằng cách quy nạp theo a:

Với $a=1$ thì $1^p\equiv1\left[p\right]$, luôn đúng.

Giả sử khẳng định đúng đến $a=k\left(k\inℕ^∗\right)$. Khi đó $k^p\equiv k\left[p\right]$. Ta cần chứng minh khẳng định đúng với $a=k+1$. Thật vậy, với $a=k+1$, ta có:

$\left(k+1\right)^p=k^p+C^1_p.k^{p-1}+C^2_pk^{p-2}...+C^{p-1}_pk^1+1$    (*)

((*) áp dụng khai triển nhị thức Newton, bạn có thể tìm hiểu trên mạng)

(Ở đây kí hiệu $C^n_m=\dfrac{m!}{n!\left(m-n\right)!}$ với $m\ge n$ là các số tự nhiên và kí hiệu $x!=1.2.3...x$)

Ta phát biểu không chứng minh một bổ đề quan trọng sau: Với p là số nguyên tố thì $C^i_p⋮p$ với mọi $1\le i\le p-1$

Do đó vế phải của (*) $\equiv k^p+1\left[p\right]$. Thế nhưng theo giả thiết quy nạp, có $k^p\equiv k\left[p\right]$ nên $k^p+1\equiv k+1\left[p\right]$, suy ra $\left(k+1\right)^p\equiv k+1\left[p\right]$

Vậy khẳng định đúng với $a=k+1$. Theo nguyên lí quy nạp, suy ra điều phải chứng minh. Áp dụng định lý này cho số nguyên tố $p=7$ là xong.

Cách 2: Đối với những số nhỏ như số 7 thì ta có thể làm bằng pp phân tích đa thức thành nhân tử để cm là được:

$P=a^7-a$

$P=a\left(a^6-a\right)$

$P=a\left(a^3-1\right)\left(a^3+1\right)$

$P=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(a^2+a+1\right)$

Nếu $a⋮7,a\equiv\pm1\left[7\right]$ thì hiển nhiên $P⋮7$

Nếu $a\equiv\pm2\left[7\right];a\equiv\pm3\left[7\right]$ thì $\left(a^2-a+1\right)\left(a^2+a+1\right)⋮7$, suy ra $P⋮7$. Vậy $a^7-a⋮7$Câu trả lời:  Cách 1: Cái này là định lý Fermat nhỏ thôi bạn. Tổng quát hơn: