Sửa đề : ý b cm chia hết cho 55 chứ ko phải 35 nhé

a ) \(5^{2000}+5^{1998}=5^{1998}\left(5^2+1\right)=5^{1998}.26=5^{1998}.13.2⋮13\) (đpcm)

b ) \(7^{2016}+7^{2015}-7^{2014}=7^{2014}\left(7^2+7-1\right)=7^{2014}.55⋮55\) (đpcm)

b: \(=\dfrac{2014\cdot2015^2+2014\cdot2016-2016\cdot2015^2+2016\cdot2014}{2014\cdot2013^2-2014\cdot2012-2012\cdot2013^2-2012\cdot2014}\)

\(=\dfrac{2015^2\cdot\left(-2\right)+2\cdot\left(2015^2-1\right)}{2013^2\cdot\left(-2\right)-2\cdot\left(2013^2-1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(-2\right)\cdot\left(2015^2-2015^2+1\right)}{\left(-2\right)\cdot\left(2013^2+2013^2-1\right)}=\dfrac{1}{2\cdot2013^2}\)

\(201^2=\left(200+1\right)^2=200^2+2.200.1+1^2=40000+400+1=40401\)

\(498^2=\left(500-2\right)^2=500^2-2.500.2+2^2=250000-2000+4=248004\)

\(93.107=\left(100-7\right)\left(100+7\right)=100^2-7^2=10000-49=9951\)

\(2016^2-2015.2017=2016^2-\left(2016-1\right)\left(2016+1\right)=2016^2-2016^2+1^2=1\)

Vì  \(a,b,c\)  lần lượt là độ dài ba cạnh của 1 tam giác cho trước nên suy ra  \(a,b,c>0\)

\(----------------\)

Áp dụng bất đẳng thức  \(AM-GM\)  cho hai số dương, ta có:

\(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\left(b+c-a\right)a^{2014}\ge2\sqrt{\frac{a^{2016}}{b+c-a}.\left(b+c-a\right)a^{2014}}=2a^{2015}\)

\(\Rightarrow\)  \(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+a^{2014}b+ca^{2014}\ge3a^{2015}\)  \(\left(1\right)\)

Theo đó, ta cũng thiết lập tương tự hai bất đẳng thức mới bắt đầu với các hoán vị  \(b\rightarrow c\rightarrow a,\)   thu được:

\(\frac{b^{2016}}{c+a-b}+b^{2014}c+ab^{2014}\ge3b^{2015}\)  \(\left(2\right)\)

\(\frac{c^{2016}}{a+b-c}+c^{2014}a+bc^{2014}\ge3c^{2015}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng ba bất đẳng thức  \(\left(1\right);\left(2\right)\)  và   \(\left(3\right),\) đồng thời chuyển vế,  khi đó bđt mới có dạng:

\(\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\frac{b^{2016}}{c+a-b}+\frac{c^{2016}}{a+b-c}\ge3\left(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\right)\) 

\(-\left[ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)+bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)+ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\right]\)  \(\left(\alpha\right)\)

\(----------------\)

Mặt khác, lại theo bđt  \(AM-GM,\)   ta có:

\(\Omega_1:\)  \(2014a^{2015}+b^{2015}\ge2015\sqrt[2015]{\left(a^{2014}b\right)^{2015}}=2015a^{2014}b\)

\(\Omega_2:\)  \(2014b^{2015}+a^{2015}\ge2015\sqrt[2015]{\left(b^{2014}a\right)^{2015}}=2015b^{2014}a\)

Cộng từng vế của hai bđt ở trên và rút gọn, khi đó:     

\(a^{2015}+b^{2015}\ge a^{2014}b+b^{2014}a=ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)\)    \(\left(1^'\right)\)

Tương tự ta thực hiện các dãy biến đổi như trên, nhận được:  

\(b^{2015}+c^{2015}\ge bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)\)  \(\left(2^'\right)\)

\(c^{2015}+a^{2015}\ge ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\)  \(\left(3^'\right)\)

Từ   \(\left(1^'\right);\left(2^'\right)\)  và  \(\left(3^'\right)\)  suy ra  \(2\left(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\right)\ge\left[ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)+bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)+ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\right]\)   \(\left(\beta\right)\)

\(----------------\)

\(\left(\alpha\right);\beta\)  \(\Rightarrow\)  \(đpcm\)

Dấu  \("="\)  xảy ra   \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c,\)   tức là tam giác khi đó phải là một tam giác đều!

dùng đồng dư là ra mà

thì cũng giống như 4 mũ 5 + 6 mũ 5 chia hết cho 5