Lời giải:
$2^{2n+1}=4^n.2\equiv 1^n.2\equiv 2\pmod 3$

$\Rightarrow$ đặt $2^{2n+1}=3k+2$ với $k$ tự nhiên.

Do đó:

$2^{2^{2n+1}}+3=2^{3k+2}+3=8^k.4+3\equiv 1^k.4+3\pmod 7$

$\equiv 7\equiv 0\pmod 7$
Mà với $n$ nguyên dương thì $2^{2^{2n+1}}+3>7$ nên $2^{2^{2n+1}}+3$ là hợp số.

Từ đề bài ta có A= 3ⁿ⁺¹ (3² + 1) + 2ⁿ⁺¹ (2 +1) = 3ⁿ .3.2.5 + 2ⁿ .2.3

=> ĐPCM;

A = 3 n + 3 + 3 n + 1 + 2 n + 2 + 2 n + 1 = 3 n . 27 + 3 + 2 n + 1 . 4 + 2 = 3 n .30 + 2 n .6 = 6. 3 n .5 + 2 n ⋮ 6

Với mọi số nguyên dương n. Ta có: 2⁴ⁿ⁺¹+3⁴ⁿ+2=16ⁿ.2+81ⁿ+2 >5

Vì 16ⁿ có số tận cùng là 6;  =>16ⁿ.2 có  số tận cùng là 2

81ⁿ có số tận cùng là 1

=> 16ⁿ.2+81ⁿ+2 có số tận cùng là 5 mà 16ⁿ.2+81ⁿ+2 >5 suy ra 16ⁿ.2+81ⁿ+2 chia hết cho 5=> 2⁴ⁿ⁺¹+3⁴ⁿ+2 chia hết cho 5=> 2⁴ⁿ⁺¹+3⁴ⁿ+2là hợp số với mọi số nguyên dương n

Chứng minh với mọi số nguyên dương n thì

3^n + 2 – 2^n + 2 + 3^n – 2^n chia hết cho 10

                                      Giải

3^n + 2 – 2^n + 2 + 3^n – 2^n

= 3^n+2 + 3^n – 2^n + 2 -  2^n

= 3^n+2 + 3^n – ( 2^n + 2 + 2^n )

= 3^n . 3^2 + 3^n – ( 2^n . 2^2 + 2^n )

= 3^n . ( 3^2 + 1 ) – 2^n . ( 2^2 + 1 )

= 3^n . 10 – 2^n . 5

= 3^n.10 – 2^n -1.10

= 10.( 3^n – 2^n-1)

Vậy 3^n+2 – 2^n +2 + 3^n – 2^n chia hết cho 10

Tham khảo:
 

Ta có: 2^n+1;2^n;2^n-1  là 3 số tự nhiên liên tiếp

=>một trong 3 số trên chia hết cho 3

mà 2^n+1 là số nguyên tố(n>2)=>2^n+1 ko chia hết cho 3

mặt khác: 2^n ko chia hết cho 3

=>2^n-1 chia hết cho 3

CHÚC CẬU HỌC TỐT VÀ ĐẠT KẾT QUẢ CAO!

Cảm ơn bạn nha :3