5 - 1 chia hết cho 4 suy ra 5ⁿ- 1 chia hết cho 4. tick cho mk ddj!

a,Nếu n = 3k thì n² + 1 = (3k)² + 1 = 9k² + 1 chia 3 dư 1 
Nếu n = 3k + 1 thì n² + 1 = (3k + 1)² + 1 = 9k² + 6k + 2 chia 3 dư 2 
Nếu n = 3k + 2 thì n² + 1 = (3k + 2)² + 1 = 9k² + 12k + 5 chia 3 dư 2 
Vậy vớj mọj n thuộc Z, n^2 + 1 không chia hết cho 3

b,chọn n=1 => 10+18-1=27 chia hết cho 27 (luôn đúng) 
giả sử với mọi n=k (k thuộc N*) thì ta luôn có 10^k+18k-1 chia hết cho 27. 
Cần chứng minh với n=k+1 thì 10^(k+1)+18(k+1)-1 chia hết cho 27. 
Ta có 10^(k+1)+18(k+1)-1= 10*10^k+18k+18-1 
= (10^k+18k-1)+9*10^k+18 
= (10^k+18k-1)+9(10^k+2) 
ta có: (10^k+18k-1) chia hết cho 27 => 10^(k+1)+18(k+1)-1 chia hết cho 27 khi và chỉ khi 9(10^k+2) chia hết cho 27. 

Chứng minh 9(10^k+2) chia hết cho 27. 
chọn k=1 => 9(10+2)=108 chia hết cho 27(luôn đúng) 
giả sử k=m(với m thuộc N*) ta luôn có 9(10^m+2) chia hết cho 27. 
ta cần chứng minh với mọi k= m+1 ta có 9(10^(m+1)+2) chia hết cho 27. 
thật vậy ta có: 9(10^(m+1)+2)= 9( 10*10^m+2)= 9( 10^m+9*10^m+2) 
= 9(10^m+2) +81*10^m 
ta có 9(10^m+2) chia hết cho 27 và 81*10^m chia hết cho 27 => 9(10^(m+1)+2) chia hết cho 27 
=>9(10^k+2) chia hết cho 27 
=>10^(k+1)+18(k+1)-1 chia hết cho 27 
=>10^n+18n-1 chia hết cho 27=> đpcm

K MINH NHA!...............

C= 10^n +18n ‐ 1=10^n‐1+18n

=99..9﴾n chữ số 9﴿+18n =9﴾11...1﴾n chữ số 9﴿+2n﴿

Xét 11...1﴾n chữ số 9﴿+2n=11...1‐ n+3n

Dễ thấy tổng các chữ số của 11..1﴾n chữ số 1﴿ là n

=>11...1‐ n chia hết cho 3

=>11...1‐ n+3n chia hết cho 3

=>10^n +18n ‐ 1 chia het cho 27

Để chứng minh , ta xét 2 trường hợp

TH1: n là số lẻ

=> (n+8)(n+3)=lẻ x chẵn .( Vì số lẻ cộng với số chẵn ta đc số lẻ , số lẻ cộng với số lẻ ta đc một số chẵn)

Mà số chẵn nào cũng chia hết cho 2

=> (n+8)(n+3) chia hết cho 2.(1)

TH2 : n là số chẵn 

=> (n+8)(n+3)= chẵn x lẻ .(Vì số chẵn cộng với số chẵn ta đc số lẻ , số chẵn cộng với số lẻ ta đc một số lẻ)

Mà số chẵn nào cũng chia hết cho 2

=> (n+8)(n+3) chia hết cho 2.(2)

Từ (1) và (2)

=>(n+8)(n+3) luôn chia hết cho 2 với mọi n thuộc N

nhan tung ra la xong