b, Ta có \(m=a+b+c\)

          \(\Rightarrow am+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=a\left(a+b\right)+ac+bc=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)

CMTT \(bm+ac=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\);\(cm+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

Suy ra \(\left(am+bc\right)\left(bm+ac\right)\left(cm+ab\right)=\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2\)

a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ =  40000 + a000 + b00 + c0 + d

a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ - d = 4abc0 

a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ - abcd = 40000

nếu a ; b ; c ; d bằng nhau thì 

a ^{4 + 4 + 4 + 4} - abcd = 40000

a¹⁶ - abcd = 40000

cho a  = 1 ; vậy biểu thức là :

16 - abcd = 40000

vậy không thể chứng minh được 

nhé !

Kết luận :  .....................................................

a⁴ ; b⁴;....đều là số dương nên theo bđt cosi ta có: 

a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ >= 4căn mũ 4 của (abcd)⁴ >= 4abcd

dấu = chỉ xảy ra khi a=b=c=d (dpcm)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta được :

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4abcd\)

Dấu "=" xảy ra \(a=b=c=d\) (đpcm)

Câu hỏi của Nguyễn Tất Anh Quân - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Tham khảo

Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số dương

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{\left(abcd\right)^4}\)

\(=4abcd\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=d\))

Gán giá trị: a = b = c = d = 1

Ta có, giá trị phải thỏa mãn điều kiện \(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\Leftrightarrow1^4+1^4+1^4+1^4=1+1+1+1\)

\(=4\) (thỏa mãn yêu cầu đề bài)

\(\RightarrowĐPCM\)

Ps: Làm xàm chút thôi! nhưng vẫn có thể đúng!

áp dụng bất đẳng thức a²+b²\(\ge\)2ab, dấu bằng xảy ra khi a=b

Ta có a⁴+b⁴\(\ge\)2a²b²,dấu bằng xảy ra khi a=b

c⁴+d⁴\(\ge\)2c²d²,dấu bằng xảy ra khi c=d

a²b²+c²d²\(\ge\)2abcd,dấu bằng xảy ra khi ab=cd

Vậy a⁴+b⁴+c⁴+d⁴\(\ge\)2a²b²+2c²d²=2(a²b²+c²d²)\(\ge\)2.2abcd=4abcd

Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b\\c=d\\ab=cd\end{cases}}\)suy ra a=b=c=d suy ra a,b,c,d là 4 cạnh của 1 hình thoi

\(0=a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd\)

\(=\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(a^2b^2-2ab.cd+c^2d^2\right)\)

\(=\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+\left(ab-cd\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi các số trong ngoặc bằng 0 hay \(a=b=c=d\)

a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd

=>a^4-2a^2b^4+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4+2a^2 b^2-4abcd + 2c^2 d^2=0

=> (a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0

Tới đây có thể suy ra a+b+c+d