Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Rightarrow\left(a^3+b^3\right)+c^3-3abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3+3abc=0\)
\(\Rightarrow[\left(a+b\right)^3+c^3]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-ac-bc-3ab\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(1\right)\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1) => a = b = c (vì a ; b ; c là các số dương)
Giải (2) ta có:
\(2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2-2ab-2bc-2ac=0\)
\(\Rightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\)
Vì \(\left(a-b\right)^2\ge\forall a,b\)
\(\left(a-c\right)^2\ge\forall a,c\)
\(\left(b-c\right)^2\ge\forall b,c\)
\(\Rightarrow\)Ta có: \(a-b=a-c=b-c\Rightarrow a=b=c\)
\(\left(a+b+c+d\right)\left(a-b-c+d\right)=\left(a-b+c-d\right)\left(a+b-c-d\right)\)
\(\left(a+d\right)^2-\left(b+c\right)^2=\left(a-d\right)^2-\left(b-c\right)^2\)
\(\left(a+d\right)^2-\left(a-d\right)^2=\left(b+c\right)^2-\left(b-c\right)^2\)
\(\left(a+d-a+d\right)\left(a+d+a-d\right)=\left(b+c-b+c\right)\left(b+c+b-c\right)\)
\(2d\times2a=2b\times2c\)
\(ad=bc\)
\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\left(\text{đ}pcm\right)\)
a) - Do p là số nguyên tố nên p là số tự nhiên.
*) Xét p=3k+1 => \(p^2+8=\left(3k+1\right)^2+8=9k^2+6k+9⋮3\) (hợp số)
*) Xét p=3k+2 => \(p^2+8=\left(3k+2\right)^2+8=9k^2+12k+12⋮3\) (hợp số)
*) Xét p=3k => k=1 do p là số nguyên tố => \(p^2+8=9+8=17\) (t/m)
Ta có: \(p^2+2=11\). Mà 11 là số nguyên tố => điều phải chứng minh.
b) (Làm tương tự bài trên)
- Do p là số nguyên tố => p là số tự nhiên.
*) Xét p=3k+1 => \(8p^2+1=8\left(3k+1\right)^2+1=8\left(9k^2+6k+1\right)+1=3k.8\left(3k+2\right)+\left(8+1\right)⋮3\)(hợp số)
*) Xét p=3k+2 => \(8p^2+1=8\left(3k+2\right)^2+1=8\left(9k^2+12k+4\right)+1=3k.8\left(3k+4\right)+\left(32+1\right)⋮3\) (hợp số)
*) Xét p=3k => k=1 Do p là số nguyên tố => \(8p^2+1=8.9+1=73\)(t/m)
Ta có : \(2p+1=7\). Mà 7 là số nguyên tố => Điều phải chứng minh.
Bài 1:
Ta có: a + b - 2c = 0
⇒ a = 2c − b thay vào a2 + b2 + ab - 3c2 = 0 ta có:
(2c − b)2 + b2 + (2c − b).b − 3c2 = 0
⇔ 4c2 − 4bc + b2 + b2 + 2bc − b2 − 3c2 = 0
⇔ b2 − 2bc + c2 = 0
⇔ (b − c)2 = 0
⇔ b − c = 0
⇔ b = c
⇒ a + c − 2c = 0
⇔ a − c = 0
⇔ a = c
⇒ a = b = c
Vậy a = b = c
-Áp dụng BĐT Caushy Schwarz cho các cặp số dương (1,1) ở tử và (a,b) ở mẫu ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\dfrac{4}{a+b}\)
-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\).
-Hoặc có thể c/m bằng phép biến đổi tương đương:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)ab.\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}.\left(a+b\right)ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
Bài 1:
Ta có: \(\frac{ab}{a+b}=ab.\frac{1}{a+b}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{b}{4}+\frac{a}{4}\)
Tương tự các BĐT còn lại rồi cộng theo vế ta có d9pcm.
Bài 2: 2 bài đều dùng Svac cả!
(cần thì ib t gửi link cho)
#)Giải :
Ta có : \(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\)
\(\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4+2a^2b^2-4abcd+2c^2d^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)+2\left(ab-cd\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2=b^2\\c^2=d^2\\ab=cd\end{cases}}\)
Do a, b, c, d > 0
\(\Leftrightarrow a=b=c=d\left(đpcm\right)\)