Cho hàm số f: \(Z^+\rightarrow Z^+\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện :

1) \(f\left(n+1\right)>f\left(n\right)\) với \(\forall n\in Z\)

2) \(f\left(f\left(n\right)\right)=n+2000\) với \(\forall n\in Z\)

a) Chứng minh: \(f\left(n+1\right)=f\left(n\right)+1\)

b) Tính \(f\left(n\right)\)

Cho hàm số f: \(Z^+\rightarrow Z^+\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện :

1) \(f\left(n+1\right)>f\left(n\right)\) với \(\forall n\in Z^+\)

2) \(f\left(f\left(n\right)\right)=n+2000\) với \(\forall n\in Z^+\)

a) Chứng minh: \(f\left(n+1\right)=f\left(n\right)+1\)

b) Tính \(f\left(n\right)\)

Cho hàm số f: R\(\rightarrow\)R , \(n\ge2\)  là số nguyên . CMR: nếu 

\(\dfrac{f\left(x\right)+f\left(y\right)}{2}\ge f\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\forall x,y\ge0\) (1) thì ta có :

\(\dfrac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+....+f\left(x_n\right)}{n}\ge f\left(\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\right)\)           \(\forall x\ge0,i=\overline{l,n}\)

Cho \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) là hai hàm số có đạo hàm tại \({x_0}\). Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)\).

Ta có \(\frac{{h\left( x \right) - h\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} + \frac{{g\left( x \right) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

nên \(h'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{h\left( x \right) - h\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{g\left( x \right) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = ... + ...\)

Chọn biểu thức thích hợp thay cho chỗ chấm để tìm \(h'\left( {{x_0}} \right)\).