Ta có 0,7×(2003^2003-1997^1997)

= 0,7×((2003^4)^500 ×2003^3-(1997^4)^499  × 1997

= 0,7×( ....1×...7-....1×.....7)

=0,7×......0

=7

Vậy biểu thức đề bài là số tự nhiên 

NHỚ K VÀ

- xét dãy số gom  2002 số hạng sau :

2003, 2003.... 2003 , 2003 ... 2003

2002 lan 2003 

chia tất cả số hạng của dãy số 2002 có 2002 số dư từ 1 đến 2002[ ko thể có số dư 0 vì các số hạng là số lẻ ]

có 2002 phép chia nên theo nguyên tắc dirichlet  phải có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia 2002

giả sử 2 số đó là am và an [m,n N];  1< = m

voi am = 2003 2003... 2003; an = 2003 2003 ... 2003

ta có :[an- am] chia het cho 2002

hay 2003 2003.... 2003 00 ...00 luon chia het cho 2002

vậy tồn tại có một số dạng 2003 2003 ... 20032003 ..... 200300 ...0 chia het cho 2002

k mk nha

/x-1/+5.(x+2)=5x-8 /x-1/+5x+10=5x-8 /x-1/+5x-5x=-18 /x-1/=-18=>x=-17 /x-1/=18=>x=19

Đó là điều đương nhiên vì

N* là tập số N khác 0

Mà bắt đầu từ 1 ta có thể lấy số đó trừ đi 1 được 

CHúng không ra số nguyên âm .

Ví dụ : 2 = 1 + 1

1 cũng = 1 + 0.

Khi chia một số cho 2002 có tất cả 2002 số dư từ 0 đến 2001;

Xét dãy gồm 2003 số: 2003; 20032003; 200320032003, ...;200320032003...(gồm 2003 số 2003). khi chia các số trong dãy trên cho 2002 thì theo N.L Dirichle có ít nhất hai số chia cho 2002 có cùng số dư, nên hiệu của chúng chia hết cho 2002. Gọi hai số đó là 20032003...2003(gồm m số 2003) và 20032003...2003(gồm n số 2003), giả sử m<n, ta có:

20032003...2003(gồm n số 2003) - 20032003...2003(gồm m số 2003) Chia hết cho 2002

hay 20032003...200300...0(gồm n-m số 2003 và m số 0) chia hết cho 2002. Vậy, tốn tại số có dạng 20032003...200300...0 chia hết cho 2002

Ta có:1983¹⁹⁸³+1917¹⁹¹⁷

=*3¹⁹⁸³+*7¹⁹¹⁷=(*3²)⁹⁹¹.*3+(*7²)⁹⁵⁸.*7

=*1⁹⁹¹.*3+*1⁹⁵⁸.*7

=*1.*3+*1.*7

=*3+*7

=*0

=>1983¹⁹⁸³+1917¹⁹¹⁷ có tận cùng là 0

=>1983¹⁹⁸³+1917¹⁹¹⁷  chia hết cho 10

=>1983¹⁹⁸³+1917¹⁹¹⁷=10k(k thuộc N)

=>0,7.1983¹⁹⁸³+1917¹⁹¹⁷=0,7.10.k=7.k là số tự nhiên

=>ĐPCM

1983¹⁹⁸³ = (1983⁴)⁴⁹⁵.1983³ = (...1)⁴⁹⁵.(...7) = (...1).(...7) = (...7)

1917¹⁹¹⁷ = (1917⁴)⁴⁷⁹.1917 = (....1)⁴⁷⁹.1917 = (....1).1917 = (...7)

=> 1983¹⁹⁸³ - 1917¹⁹¹⁷ = (...7) - (..7) = (....0) nên  1983¹⁹⁸³ - 1917¹⁹¹⁷ chia hết cho 10

=> 0,3.(1983¹⁹⁸³ - 1917¹⁹¹⁷) = 3.(1983¹⁹⁸³ - 1917¹⁹¹⁷): 10 là số tự nhiên

Câu a) thôi, câu b) chị chưa nghĩ được!

+) 2 số lẻ liên tiếp có dạng là 2n + 1 và 2n + 3 ( n thuộc N )

+) Đặt d thuộc ƯC ( 2n + 1; 2n + 3 ) ( d thuộc N^* )

=> 2n + 1 chia hết cho d

     2n + 3 chia hết cho d

Vậy ( 2n + 3 ) - ( 2n + 1 ) chia hết cho d

<=> 2 chia hết cho d

=> d thuộc Ư ( 2 )

=> d thuộc {1; 2}

Nhưng d là số lẻ => d ≠ 2 => d = 1

Vậy 2 số lẻ liên tiếp là 2 số nguyên tố cùng nhau.

+) 1968 chia hết cho 4 => 1968¹⁹⁷⁰ chia hết cho 4 => 1968¹⁹⁷⁰ = 4.k

=> \(7^{1968^{1970}}=7^{4k}=\left(7^4\right)^k=\left(...1\right)^k=\left(...1\right)\)

+) 68 chia hết cho 4 => 68⁷⁰ chia hết cho 4 => 68⁷⁰ = 4.h

=> \(3^{68^{70}}=3^{4h}=\left(3^4\right)^h=\left(...1\right)^h=\left(...1\right)\)

Vậy \(7^{1968^{1970}}-3^{68^{70}}=\left(...1\right)-\left(...1\right)=\left(...0\right)\)=> hiệu này chia hết cho 10

Mà \(0,7.\left(7^{1968^{1970}}-3^{68^{70}}\right)=\frac{7.\left(7^{1968^{1970}}-3^{68^{70}}\right)}{10}\)

vậy....