Xét các số:

 2,22 , 222,..., 2222...222

                        14 chữ số 2

1 số  tự nhiên khi chia cho 13 sẽ có thể có các số dư là 0,1, 2, 3,..., 12 ( 13  số dư ) mà  dãy trên có 14 số nên theo nguyên lí Diricle sẽ có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 13

 Giả sử 2 số đó là

     222...22             và            222...22

   m chữ số 2                        n chữ số 2                  ( m, n thuộc N*,   0<m<n \(\le\)20 )

=>      222...22          \(_-\)222...22        \(⋮\)13

      n chữ số 2             m chữ số 2

<=>   222...222 000....00            \(⋮\)    13

n-m chữ số 2      m chữ số 0

<=>  222..222      x    10^m      \(⋮\)13

   n-m chữ số 2

       Mà ( 10^m, 13 ) = 1

=> 222....2222          \(⋮\)13

n-m chữ số 2

          Vậy tồn tại 1 số tự nhiên gồm toàn chữ số 2 là bội của 13.

                      Hok tốt

Chọn bộ 14 số sau:
2, 22, 222, ..., 222..2222 (14 chữ số 2)
Đem chia 14 số trên cho 13.
Theo nguyên lý Diricle thì tồn tại 2 số trong 14 số trên có cùng số dư khi đem chia cho 13. Ta gọi 2 số đó là 222..22 (m chữ số 2) và 222..22 (n chữ số 2) m,n trong khoảng 1 đến 14.
Không mất tính tổng quát, giả sử m>n.
Do 2 số trên có cùng số dư khi chia 13 nên
[222..22 (m chữ số 2) - 222..22 (n chữ số 2)] chia hết cho 13
=> 222..2200...000 (m-n chữ số 2; n chữ số 0) chia hết cho 13
hay 222..22(m-n chữ số 2).10^n chia hết cho 13
=> 222..22 (m-n chữ số 2) chia hết cho 13
=> đpcm.

Chọn bộ 14 số sau:
2, 22, 222, ..., 222..2222 (14 chữ số 2)
Đem chia 14 số trên cho 13.
Theo nguyên lý Diricle thì tồn tại 2 số trong 14 số trên có cùng số dư khi đem chia cho 13. Ta gọi 2 số đó là 222..22 (m chữ số 2) và 222..22 (n chữ số 2) m,n trong khoảng 1 đến 14.
Không mất tính tổng quát, giả sử m>n.
Do 2 số trên có cùng số dư khi chia 13 nên
[222..22 (m chữ số 2) - 222..22 (n chữ số 2)] chia hết cho 13
=> 222..2200...000 (m-n chữ số 2; n chữ số 0) chia hết cho 13
hay 222..22(m-n chữ số 2).10^n chia hết cho 13
=> 222..22 (m-n chữ số 2) chia hết cho 13
=> đpcm.

hi

 Xét các số \(10^{13},10^{12},10^{11},...,10^1,10^0\). Có tất cả 14 số như thế. Mà một số khi chia cho 13 chỉ có 13 số dư là \(0,1,2,...,12\) nên sẽ tồn tại 2 số \(10^i,10^j\left(0\le i< j\le13\right)\) có cùng số dư khi chia cho 13.

 \(\Rightarrow10^i-10^j⋮13\) 

 \(\Rightarrow10^i\left(10^{j-i}-1\right)⋮13\) 

 \(\Rightarrow10^{j-i}-1⋮13\)

Nếu \(j-i=1\) thì dẫn đến \(9⋮13\), vô lí. Vậy \(j-i\ge2\)

Ta thấy \(10^{j-i}-1=99...9\) (với \(j-i\) chữ số 9).

Từ đó suy ra 999...99 (\(j-i\) chữ số 9) \(⋮13\) 

hay \(9.111...11\) (\(j-i\) chữ số 1) \(⋮13\)

hay \(111...11\) (\(j-i\) chữ số 1) \(⋮13\)

hay \(222...22\) (\(i-j\) chữ số 2) \(⋮13\)

Vậy tồn tại một bội của 13 chỉ gồm toàn các chữ số 2.

 Chỗ này mình sửa lại 1 chút là \(10^j-10^i⋮13\) nhé. Mặc dù cái trên về bản chất thì vẫn đúng (vì nếu \(a⋮13\) thì \(-a⋮13\)) nhưng nếu viết như trên thì đôi khi sẽ gây nhầm lẫn cho người đọc.

Xét 31 số

7

77

777

...

7777....7777

31 chữ số 7

Nếu có 1 trong 31 số chia hết cho 31 thì bài toán được chứng minh

Nếu ko có số nào chia hết cho 31 thì ta có:Mọi số tự nhiên ko chia hết cho 31 thì có 30 trường hợp dư là 1;2;3;4;...;30 có 30 trường hợp

Mà số 31 số nên theo nguyên lý Đi rích-lê thì có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 31

Gọi 2 số đó là:77777.....77777                       77777............77777                \(\left(1\le n< m\le31\right)\)

                    n chữ số                                 m chữ số

\(\Rightarrow777...7777-7777....777⋮31\)

     m chữ số            n chữ số

\(\Rightarrow777.....777.10^n⋮31\)

   m-n chữ số

Mà (10^n,31)=1

\(\Rightarrow7777.....77777⋮31\)

    m-n chứ số

Ró ràng m-n>0 vì m>n

Suy ra điều phải chứng minh

mik nghĩ là : 222222222222

Xét dãy số:2,22,222,...,22...22(131 chữ số 2) có 131 số.

Nếu có số chia hết cho 131 thì bài toán được chứng minh.

Nếu ko có số nào chia hết cho 131 thì có 131 phép chia có số dư thuộc{1;2;3;...;130}.Có nhiều nhất 130 số dư khác nhau.

Suy ra tồn tại 2 phép chia có số dư bằng nhau khi chia cho 131. Khi đó có hiệu của chúng chia hết cho 131.

Ta giả sử 2 số đó là :

222...2(m chữ số 2) và 222...2( n chữ số 2).   (m>n; m,n thuộc{1;2;3;..;131}.

Và 22...2(m chữ số 2)- 22..2( n chữ số 2)  chia hết cho 131.

Suy ra 22...20000...0( m - n chữ số 2 và n chữ số 0) chia hết cho 131.

Suy ra 222..2(m - n chữ số 2)× 10^n  Chia hết cho 131.

Mà 10^ n và 131 là 2 số nguyên tố cùng nhau.

Suy ra 222...2( m -n chữ số 2) chia hết cho 131.

 Vậy luôn tồn tại 1 bội của 131 gồm toàn chữ số 2.

Gọi số n là số lẻ có tận cùng khác 5.

Xét dãy số gồm (n+1) số nguyên sau :

9

99

999

......

99....999

(n+1) chữ số 9

Khi chia cho n thì sẽ có (n+1) số dư 

=>Theo ng.lý dinchlet có ít nhất 2 số có cùng số dư .

Gỉa sử : ai = n . q + r                     o < r < n

            :aj = n . k + r                     i > j ; g , k thuộc N

=>ai - aj = n (g-k)

<=> 99 ... 99              00...0        = ( g-k )

        ( i - j )                 j chữ

      chữ số 9               số 0

<=>99 ... 99   . 10^j = n ( g - k )

       ( i - j )

    c/số 9

Vì n là số lẻ có tận cùng khác 5 => ( 10^j ; n ) = 1

=> 99 ... 99             :^. n ( đpcm )

       ( i - j )    

     c/số 9                 

Chọn bộ 13 số sau:
1,11,...111111 (13 chữ số 1)
Đem chia 13 số trên cho 12.
Theo nguyên lý Diricle thì tồn tại 2 số trong 14 số trên có cùng số dư khi đem chia cho 13. Ta gọi 2 số đó là 111..111 (m chữ số 2) và 111.111 (n chữ số 2) m,n trong khoảng 1 đến 13
Không mất tính tổng quát, giả sử m>n.
Do 2 số trên có cùng số dư khi chia 12 nên
[111.111 (m chữ số 2) - 111.111 (n chữ số 2)] chia hết cho 12
=>111.11100...000 (m-n chữ số 2; n chữ số 0) chia hết cho 12
hay 111.111(m-n chữ số 2).10^n chia hết cho 12
=>111.111 (m-n chữ số 2) chia hết cho 12
=> đpcm.