Gọi 4 stn liên tiếp là k, k+1, k+2, k+3

Ta có k(k+1)(k+2)(k+3)+1

= k(k+3)(k+1)(k+2)+1

= (k² +3k)(k² +3k+2)+1

Đặt k² +3k = A

= A(A+2)+1

= A² +2A + 1

= (A+1)² => đpcm

#)Giải :

Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là a, a+1, a+2, a+3

Theo đề bài, ta có : \(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)+1\)

\(=\left(a^2+3a\right)\left(a^2+3a+2\right)+1\)

\(=\left(a^3+3a+1-1\right)\left(a^3+3a+1+1\right)-1\)

\(=\left(a^3+3a+1\right)^2-1^2-1\)

\(=\left(a^3+3a+1\right)^2\left(đpcm\right)\)

Ta có :

\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)=\left[n\left(n+3\right)\right].\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)

ko là số cp

Vì 2A = 2.1.3.5.....2011

Dễ thấy 2A chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4

=> 2A không là bình phương của 1 số nguyên nào

VÌ 2A là chẵn => 2A - 1 lẻ, mà 2A- 1 ko chia hết cho 3, 5, 7,...,2011

( vì 2A chia hết cho các số đó)

Tương tự vậy ta thấy ngay 2A-1, 2A không là bình phương cảu bất kì số nguyên nào

Ta gọi :3SND lần lượt là\(N,N+1,N+2\left(N\in Z\right)\)

\(N\left(N+1\right)\left(N+2\right)=\left(N^2+N\right)\left(N+2\right)=N^3+2N^2+N^2+2N=N^3+3N^2+2N\)

\(N^3< N^3+3N^2+2N< N^3+3N^2+3N+1\)

\(\Rightarrow N^3< N^3+3N^2+2N< \left(N+1\right)^3\left(1\right)\)

Vì \(N\)là SND nên từ \(\left(1\right)\)

Ta có:\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)ko là LP của 1 STN

khong ai biet ak ngu the

Bài này không tìm được n đâu.

Giả sử n²+2002=k²(k>n)<=>2002=k²-n²=(k+n)(k-n). Vì 2002 chẵn nên ít nhất k+n hoặc k-n chẵn.

Mặc khác k+n+k-n=2k=>k+n và k-n cùng chẵn. Điều đó có nghĩa (k+n)(k-n) chia hết cho 4 nhưng 2002 không chia hết cho 4. Vậy ko tồn tại n.