Vì A+B+C=180^{\circ}A+B+C=180∘ nên V T=\dfrac{\sin ^{3} \dfrac{B}{2}}{\cos \left(\dfrac{180^{\circ}-B}{2}\right)}+\dfrac{\cos ^{3} \dfrac{B}{2}}{\sin \left(\dfrac{180^{\circ}-B}{2}\right)}-\dfrac{\cos \left(180^{\circ}-B\right)}{\sin B} \cdot \tan BVT=cos(2180∘−B​)sin32B​​+sin(2180∘−B​)cos32B​​−sinBcos(180∘−B)​⋅tanB.

V T=\dfrac{\sin ^{3} \dfrac{B}{2}}{\cos \left(\dfrac{180^{\circ}-B}{2}\right)}+\dfrac{\cos ^{3} \dfrac{B}{2}}{\sin \left(\dfrac{180^{\circ}-B}{2}\right)}-\dfrac{\cos \left(180^{\circ}-B\right)}{\sin B} \cdot \tan BVT=cos(2180∘−B​)sin32B​​+sin(2180∘−B​)cos32B​​−sinBcos(180∘−B)​⋅tanB =\dfrac{\sin ^{3} \dfrac{B}{2}}{\sin \dfrac{B}{2}}+\dfrac{\cos ^{3} \dfrac{B}{2}}{\cos \dfrac{B}{2}}-\dfrac{-\cos B}{\sin B} \cdot \tan B=\sin ^{2} \dfrac{B}{2}+\cos ^{2} \dfrac{B}{2}+1=2=V P=sin2B​sin32B​​+cos2B​cos32B​​−sinB−cosB​⋅tanB=sin22B​+cos22B​+1=2=VP

Suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải:
\(\sin (a+b)=\sin (a+b+c-c)=\sin (a+b+c).\cos c-\cos (a+b+c)\sin c\)

\(\sin (a+c)=\sin (a+c+b-b)=\sin (a+b+c)\cos b-\cos (a+b+c)\sin b\)

Do đó:

\(\text{VT}=\sin (a+b+c)\cos b\cos c-\cos (a+b+c)\sin c\cos b-\sin (a+b+c)\cos b\cos c+\cos (a+b+c)\sin b\cos c\)

\(=\sin (a+b+c)(\cos b\cos c-\cos b\cos c)+\cos (a+b+c)(\sin b\cos c-\sin c\cos b)\)

\(=\cos (a+b+c)(\sin b\cos c-\cos b\sin c)=\cos (a+b+c)\sin (b-c)\)

\(=\text{VP}\)

Ta có đpcm.

a) \(\left(sinx+cosx\right)^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x\)\(=1+2sinxcosx\).
b) \(\left(sinx-cosx\right)^2=sin^2x-2sinxcosx+cos^2x\)\(=1-2sinxcosx\).
c) \(sin^4x+cos^4x=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2sin^2xcos^2x\)
\(=1-2sin^2xcos^2x\).

A, B , C là ba góc của ΔABC nên ta có: A + B + C = 180º

a) sin A = sin (180º – A) = sin (B + C)

b) cos A = – cos (180º – A) = –cos (B + C)

Mẫn Li

Câu 4 nếu bạn ko đánh sai thì người ghi đề sai :D, tử số phải là sinb chứ ko phải sina (đã chứng minh bên trên)

Câu 2b sửa lại thì cm dễ thôi:

\(\frac{cos\left(a+b\right).cos\left(a-b\right)}{sin^2a.sin^2b}=\frac{\frac{1}{2}cos2a+\frac{1}{2}cos2b}{sin^2a.sin^2b}=\frac{1-sin^2a-sin^2b}{sin^2a.sin^2b}=\frac{1}{sin^2a.sin^2b}-\frac{1}{sin^2a}-\frac{1}{sin^2b}\)

\(=\left(1+cot^2a\right)\left(1+cot^2b\right)-\left(1+cot^2a\right)-\left(1+cot^2b\right)\)

\(=1+cot^2a+cot^2b+cot^2a.cot^2b-2-cot^2a-cot^2b\)

\(=cot^2a.cot^2b-1\)

(từ đầu bằng thứ nhất ra thứ 2 sử dụng ct nhân đôi \(cos2x=1-2sin^2x\))

Rất xin lỗi bạn!
Câu 2b do mình đánh sai dấu phải là \(\frac{cos\left(a+b\right)\times cos\left(a-b\right)}{sin^2a\times sin^2b}=cot^2a\times cot^2b-1\)
Câu 3 mình cũng đánh sai luôn:

\(sin\frac{A}{2}=cos\frac{B}{2}\times cos\frac{C}{2}-sin\frac{C}{2}\times sin\frac{B}{2}\)

Còn câu 4 thì mình ko có đánh sai! Thành thật xin lỗi bạn! Mình sẽ khắc phục sự cố này!

\(\frac{cos\left(a-b\right)}{sin\left(a+b\right)}=\frac{cosa.cosb+sina.sinb}{sina.cosb+cosa.sinb}=\frac{\frac{cosa.cosb}{sina.sinb}+1}{\frac{sina.cosb}{sina.sinb}+\frac{cosa.sinb}{sina.sinb}}=\frac{cota.cotb+1}{cota+cotb}\)

Bạn ghi đề ko đúng

\(sin\left(a+b\right)sin\left(a-b\right)=\frac{1}{2}\left[cos2b-cos2a\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left[1-2sin^2b-1+2sin^2a\right]\)

\(=sin^2a-sin^2b\)

\(=1-cos^2a-1+cos^2b=cos^2b-cos^2a\)

Câu này bạn cũng ghi đề ko đúng

\(cos\left(a+b\right)cos\left(a-b\right)=\frac{1}{2}\left[cos2a+cos2b\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left[2cos^2a-1+1-2sin^2b\right]=cos^2a-sin^2b\)

\(=1-sin^2a-1+cos^2b=cos^2b-sin^2a\)