ặt $x+1=t$ thì $t>0$ và  $x=-1+t$. Ta có

           $2x+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{{\left(x+1\right)}^2}=2\left(-1+t\right)+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{t^2}=-2+t+t+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{t^2}$

                                                                       $\ge -2+3\sqrt[3]{t.t.\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{t^2}}=-2+3=1$  

1

a) Ta có: \(A=\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{1+2\cdot1\cdot\sqrt{2}+2}-\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}-\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)

\(=1+\sqrt{2}-\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{1+\sqrt{2}}-\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)

\(=\frac{1+2\sqrt{2}+2-1}{1+\sqrt{2}}\)

\(=\frac{2\sqrt{2}+2}{1+\sqrt{2}}\)

\(=\frac{2\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+1}=2\)

b) Ta có: \(\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{3}{\sqrt{x}-3}\right)\cdot\frac{\sqrt{x}+3}{x+9}\)

\(=\left(\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{3\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{x}-3}\)

\(=\frac{x-3\sqrt{x}+3\sqrt{x}+9}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}-3}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}-3}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{x}-3}\)(đpcm)

áp dụng bđt cauchy:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}.\)

Tượng tự \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}},\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\ge\frac{2}{\sqrt{xz}}.\)

=>2VT>=2Vp

<=>VT>=VP

dấu = xảy ra khi x=y=z

By AM-GM we have:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}};\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}};\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{xz}}\)

Cộng theo vế rồi rút gọn là có ĐPCM

Xảy ra khi x=y=z

Ta có bổ đề quen thuộc sau: Với \(x,y\ge1\)thì \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)

Áp dụng bổ đề trên, ta có:

Với \(x,y\ge1\)thì \(\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}\ge\frac{2}{1+\sqrt{x^3y^3}}\)

Với \(x,y,z\ge1\)thì \(\frac{1}{1+z^3}+\frac{1}{1+xyz}\ge\frac{2}{1+\sqrt{x^4yz}}\)

và \(2\left(\frac{1}{1+\sqrt{x^3y^3}}+\frac{1}{1+\sqrt{x^4yz}}\right)\ge\frac{4}{1+\sqrt{\sqrt{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+xyz}\)

Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

\(\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3}+\frac{1}{1+xyz}\ge\frac{4}{1+xyz}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3}\ge\frac{3}{1+xyz}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Cho sửa dòng 4 và 5)): Già rồi nên lẫn

Với \(x,y,z\ge1\)thì \(\frac{1}{1+z^3}+\frac{1}{1+xyz}\ge\frac{2}{1+\sqrt{z^4xy}}\)

và \(2\left(\frac{1}{1+\sqrt{x^3y^3}}+\frac{1}{1+\sqrt{z^4xy}}\right)\ge\frac{4}{1+\sqrt{\sqrt{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+xyz}\)

Làm biếng nghĩ quá. Chơi cách này cho mau vậy.

\(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\ge\frac{2}{\sqrt{3}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{3\left(1-x\right)\left(1+x\right)}}+\frac{y}{\sqrt{3\left(1-y\right)\left(1+y\right)}}\ge\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{2-x}+\frac{y}{2-y}\ge\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1-y}{1+y}+\frac{y}{2-y}\ge\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow4y^2-4y+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2y-1\right)^2\ge0\left(đung\right)\)