Lấy 1 nghiệm là \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) và 1 nghiệm là biểu thức liên hợp với nó \(\sqrt{2}-\sqrt{3}\), tổng hai nghiệm là \(2\sqrt{2}\) và tích hai nghiệm là -1. Theo định lý Viet, hai số \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) và \(\sqrt{2}-\sqrt{3}\) là nghiệm của phương trình:

\(x^2-2\sqrt{2}x-1=0\)

Phương trình trên chưa phải là phương trình có hệ số hữu tỉ (vì \(2\sqrt{2}\) là số vô tỉ. Ta lại nhân cả hai vế của phương trình trên với \(x^2-1+2\sqrt{2}x\) ta được phương trình sau:

\(\left(x^2-1-2\sqrt{2}x\right)\left(x^2-1+2\sqrt{2}x\right)=0\)

Hay là:

\(\left(x^2-1\right)^2-8x^2=0\)

Đây là phương trình có các hệ số hữu tỉ và có 1 nghiệm là \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

pt là x²+2\(\sqrt[]{2}\)x-1=0

a) Từ giả thiết : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\text{=}\dfrac{1}{c}\)

\(\Rightarrow2ab\text{=}2bc+2ca\)

\(\Rightarrow2ab-2bc-2ca\text{=}0\)

Ta xét : \(\left(a+b-c\right)^2\text{=}a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\)

\(\text{=}a^2+b^2+c^2\)

Do đó : \(A\text{=}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\text{=}\sqrt{\left(a+b-c\right)^2}\)

\(\Rightarrow A\text{=}a+b-c\)

Vì a;b;c là các số hữu tỉ suy ra : đpcm

b) Đặt : \(a\text{=}\dfrac{1}{x-y};b\text{=}\dfrac{1}{y-x};c\text{=}\dfrac{1}{z-x}\)

Do đó : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\text{=}\dfrac{1}{c}\)

Ta có : \(B\text{=}\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}\)

Từ đây ta thấy giống phần a nên :

\(B\text{=}a+b-c\)

\(B\text{=}\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}-\dfrac{1}{z-x}\)

Suy ra : đpcm.

Mình bổ sung đề phần b cần phải có điều kiện của x;y;z nha bạn.

Với x = y \(\ge\)0=> \(\sqrt{x}=\sqrt{y}\) là số hữu tỉ

Với \(x\ne y>0\)

Đặt \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=t\) là số hữu tỉ 

=> \(\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=t\Rightarrow\sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{x-y}{t}\)  là số hữu tỉ 

=> \(\sqrt{x};\sqrt{y}\) là số hữu tỉ