Sai đề.

VD: n=2=> \(A=5^2\left(5^2+1\right)-6^2\left(3^2+2\right)=25.\left(25+1\right)-36.\left(9+2\right)=25.26-36.11=650-396254\)không chia hết cho 91

Bài này là đê thi HSG khối 8 đó ko phải khối 7 đâu!

Ta có:

A= \(5^n\left(5^n+1\right)-6^n\left(3^n+2^n\right)\)

  \(=25^n+5^n-18^n-12^n\)

  * \(=\left(25^n-18^n\right)-\left(12^n-5^n\right)\text{ do đó A chia hết cho 7}\)

  * \(=\left(25^n-12^n\right)-\left(18^n-5^n\right)\text{ do đó A chia hết cho 13}\)  

Do (7;13)=1 nên A chia hết cho 91 

NOTE: mk đã lm theo cách lớp 7 đó! lớp 8 thì phải dùng đồng dư thức cơ! nhưng mk lâu rồi chưa lm lại ko biết có đúng ko mong bn kiểm tra rồi thông báo cho mk sớm nhất có thể nhé!!

⋮91

A=25\(^n\)+5\(^n\)−18\(^n\)−12\(^n\)\(\left\{{}\begin{matrix}=\left(25^n-18^n\right)-\left(12^n-5^n\right)⋮7\\=\left(25^n-12^n\right)-\left(18^n-5^n\right)⋮13\end{matrix}\right.\Rightarrow A⋮91\)

Đặt \(A=5^n.\left(5^n+1\right)-6^n.\left(3^{n+2}\right)\)

\(\Rightarrow A=\left(25^n-18^n\right)-\left(12^n-5^n\right)\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}25^n-18^n⋮25-18=7\\12^n-5^n⋮12-5=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A⋮7\)

Ta lại có:

\(A=\left(25^n-12^n\right)-\left(18^n-5^n\right)\)

Lại có:\(\left\{{}\begin{matrix}25^n-12^n⋮25-12=13\\18^5-5^5⋮18-5=13\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A⋮13\)

Mà (7, 13) = 1 và 7 . 13 = 91

\(\Rightarrow A⋮91\)

Vậy \(5^n.\left(5^n+1\right)-6^n\left(3^n+2\right)⋮91\left(đpcm\right)\)

\(91=7.13\)

Đặt \(A=5^n\left(5^n+1\right)-6^n\left(3^{n+2}\right)\)

\(\Rightarrow A=\left(25^n-18^n\right)-\left(12^n-5^n\right)\)

Ta có:

\(\left\{\begin{matrix}25^n-18^n⋮25-18=7\\12^n-5^n⋮12-5=7\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow A⋮7\)

Mặt khác:

\(A=\left(25^n-12^n\right)-\left(18^n-5^n\right)\)

Lại có:

\(\left\{\begin{matrix}25^n-12^n⋮25-12=13\\18^n-5^n⋮18-5=13\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow A⋮13\)

Mà: \(\left(7;13\right)=1\)

\(\Leftrightarrow A⋮91\)

Vậy \(5^n\left(5^n+1\right)-6^n\left(3^{n+2}\right)⋮91\) (Đpcm)