Vẫn đề đó hả em

Câu này dùng BĐT Schur là ra luôn cx đc, nhưng mà thế thì hơi mất hứng, anh thử đề xuất phương án này ha

VT=\(cyc\sum x^5.\left(x-y+z\right)\) Gấp đôi vế trái lên và phá ngoặc ra nhóm  về kiểu này

2.VT=(x^6-2x^5y+2xy^5+y^6)+.......tương tự như thế ha

       Giờ chỉ cần mỗi cái ngoặc này >=0 là cả lũ >=0 do tương tự

Mà \(x^6-2x^5y+2xy^5+y^6=\left(x^2+y^2\right).\left(x^2-xy-y^2\right)^2\)  (Cái này em nhóm 2 cái cuối, 2 cái giữa xong triển khai ra là đc)

       Dễ thấy x^2+y^2>=0, cái ngoặc kia là bình phương cũng >=0

 Do đó cái TH kia >=0. Các th còn lại thì cx tương tự

 Cộng vế với vế suy ra 2VT>=0, Hay VT>=0 (đpcm)

Anh gửi riêng phần phân tích này

\(x^6-2x^5y+2xy^5+y^6=\left(x^2+y^2\right)\left(x^4-x^2y^2+y^4\right)-2xy\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-y^2\right)=\left(x^2+y^2\right).\left(x^4-x^2y^2+y^4-2xy\left(x^2-y^2\right)\right)=\left(x^2+y^2\right)\left(\left(x^4-2x^2y^2+y^4\right)-2xy\left(x^2-y^2\right)+x^2y^2\right)\)Viết tiếp cái ngoặc to thành bình phương là ra cái anh vt chỗ trên đầu nhé

Thử xem có đc ko

Có:

\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}-x\sqrt{y}-y\sqrt{x}\ge0\)

\(x\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)-y\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\ge0\)

\(\left(x-y\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\ge0\)

\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\ge0\)

\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\ge0\)  (luôn đúng)

Dấu = xảy ra khi x=y

a) 9x² - 36

=(3x)²-6²

=(3x-6)(3x+6)

=4(x-3)(x+3)

b) 2x³y-4x²y²+2xy³

=2xy(x²-2xy+y²)

=2xy(x-y)²

c) ab - b²-a+b

=ab-a-b²+b

=(ab-a)-(b²-b)

=a(b-1)-b(b-1)

=(b-1)(a-b)

P/s đùng để ý đến câu trả lời của mình

Ta có:

\(\frac{1}{x+y}\) \(\le\)\(\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\))

=> \(\frac{1}{x+y}\)\(\le\)\(\frac{x+y}{4xy}\)

=> 4xy \(\le\)(x+y)²

=> 2xy \(\le\)x²+y²

^{x^2 +y ^2-2xy luôn lớn hơn hoặc bằng 0 nhé! Vội quá, không giải nữa nha!}

Lời giải:

\((2x+1)\sqrt{x^2-x+1}>(2x-1)\sqrt{x^2+x+1}\)

\(\Leftrightarrow (2x+1)\sqrt{4x^2-4x+4}> (2x-1)\sqrt{4x^2+4x+4}\)

\(\Leftrightarrow (2x+1)\sqrt{(2x-1)^2+3}>(2x-1)\sqrt{(2x+1)^2+3}\) (1)

Xét các TH sau:

TH1: \(\left\{\begin{matrix} 2x-1>0\\ 2x+1>0\end{matrix}\right.\Rightarrow x>0\)

Bình phương hai vế:

\((1)\Leftrightarrow (2x+1)^2[(2x-1)^2+3]\geq (2x-1)^2[(2x+1)^2+3]\)

\(\Leftrightarrow 3(2x+1)^2\geq 3(2x-1)^2\)

\(\Leftrightarrow (2x+1)^2\geq (2x-1)^2\)

\(\Leftrightarrow 8x\geq 0\) (đúng)

TH2: \(\left\{\begin{matrix} 2x-1<0\\ 2x+1<0\end{matrix}\right.\Rightarrow x<0\)

\((1)\Leftrightarrow -(2x+1)\sqrt{((x+1)^2+3}< -(2x-1)\sqrt{(2x+1)^2+3}\)

(nhân hai vế với 1 số âm thì phải đổi dấu)

Bây giờ 2 vế đều dương rồi. Bình phương hai vế:

\(\Leftrightarrow (2x+1)^2[(2x-1)^2+3]\geq (2x-1)^2[(2x+1)^2+3]\)

\(\Leftrightarrow 3(2x+1)^2< 3(2x-1)^2\)

\(\Leftrightarrow x< 0\) (đúng)

TH3: \(\left\{\begin{matrix} 2x+1>0\\ 2x-1<0\end{matrix}\right.\)

Khi đó, vế trái lớn hơn 0, vế phải nhỏ hơn 0 nên ta có đpcm.

TH4: \(\left\{\begin{matrix} 2x+1<0\\ 2x-1>0\end{matrix}\right.\) (TH này không thể xảy ra vì \(2x+1> 2x-1\)

TH5: \(x=-\frac{1}{2}\Rightarrow \text{VT}=0; \text{VP}< 0\Rightarrow \text{VT}> \text{VP}\)

TH6: \(x=\frac{1}{2}\Rightarrow \text{VT}>0; \text{VP}=0\Rightarrow \text{VT}>\text{VP}\)

Ta có đpcm.