1. Đặt \(ƯCLN\left(5n+3,6n+1\right)=d\) với \(d\ne1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5n+3⋮d\\6n+1⋮d\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}30n+18⋮d\\30n+5⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow13⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1,13\right\}\)

Nhưng vì \(d\ne1\) nên \(d=13\). Vậy \(ƯCLN\left(5n+3,6n+1\right)=13\)

2. Gọi \(ƯCLN\left(4n+3,5n+4\right)=d\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+3⋮d\\5n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}20n+15⋮d\\20n+16⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1⋮d\) 

\(\Rightarrow d=1\)

 Vậy \(ƯCLN\left(4n+3,5n+4\right)=1\) nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. (đpcm)

 3: Tương tự 2 nhưng khi đó \(d\in\left\{1,2\right\}\). Nhưng vì cả 2 số \(2n+1,6n+5\) đều là số lẻ nên chúng không thể có ƯC là 2. Vậy \(d=1\)

 4. Tương tự 3.

Bạn nên tách riêng rẽ từng bài ra để đăng cho mọi người quan sát dễ hơn nhé.

là số nguyên âm hay nguyên dương hả bạn

số nguyên dương bạn nhé

Bài giải

Theo đề bài, ta có: \(\frac{n^2+5n+15}{25}\)với n \(\in\)N

\(\frac{n^2+5n+15}{25}\)

= \(\frac{n^2}{25}+\frac{5n}{25}+\frac{15}{25}\)

Vì 15 không chia hết cho 25

Nên \(\frac{n^2+5n+15}{25}\notin Z\)

\(\RightarrowĐPCM\)

Mình làm rồi mà. Bạn đã gửi quá nhiều câu hỏi giống nhau

n²+5n+5 chia hết cho 25

=>n²+5n+5 chia hết cho 5

Giả sử n²+5n+5 chia hết cho 5

Vì 5n+5=5(n+1) chia hết cho 5

=>n² chia hết cho 5,mà 5 là số nguyên tố => n chia hết cho 5

do đó n có dạng:n=5k (k E N)

ta có:n²+5n+5=(5k)²+5.5k+5=5².k²+25k+5=25k²+25k+5

Vì 25k²+25k=25(k²+k) chia hết cho 25,mà 5 ko chia hết cho 25=>n²+5n+5 ko chia hết cho 25

=>Trái giả thiết

Vậy ....

Giả sử n^2 + 5n +5 chia het cho 25 => n^2+5n+5 chia het cho 5 => n^2 chia het cho 5 (do 5n+5 chia het cho 5) 
Do đó n chia hết cho 5 (vì 5 là số ng tố) => n=5k (k thuoc N) => n^2+5n+5=25k^2+25k+5 
do 25k^2+25k chia het cho 25 nhưng 5 khong chia het cho 25 nen n^2+5n+5 không chia hết cho 25 

Lời giải:

Giả sử 2 phân số trên có thể đồng thời là số tự nhiên.

Ta có:
$\frac{7n-1}{4}$ là số tự nhiên

$\Rightarrow 7n-1\vdots 4$
$\Rightarrow 7n-1-8n\vdots 4$

$\Rightarrow -n-1\vdots 4\Rightarrow n+1\vdots 4$

$\Rightarrow n=4t-1$ với $t$ tự nhiên.

Khi đó:
$\frac{5n+3}{12}=\frac{5(4t-1)+3}{12}=\frac{20t-2}{12}$
$=\frac{10t-1}{6}$

Vì $10t-1$ lẻ với mọi $t$ tự nhiên nên $10t-1\not\vdots 2$

$\Rightarrow 10t-1\not\vdots 6$

$\Rightarrow \frac{5n+3}{12}$ không là số tự nhiên (trái với giả sử)

Vậy không thể tồn tại stn $n$ để 2 phân số trên đều là số tự nhiên.