Vì n và n + 1 là 2 STN liên tiếp nên đa thức có dạng:

      \(\left(x^{2k}-1\right)\left(x^{2k+1}-1\right)\)

\(=\left(x^2-1\right)P\left(x\right)\left(x-1\right)Q\left(x\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(x+1\right)P\left(x\right)\left(x-1\right)Q\left(x\right)\)

\(=\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2P\left(x\right)Q\left(x\right)⋮\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2\)

x^6m+4+x⁶ⁿ⁺²+1=x^6m+4-x⁴+x⁶ⁿ⁺²-x²+x⁴+x²+1

                      =x⁴.(x^6m-1)+x².(x⁶ⁿ-1)+(x⁴+x²+1)

Vì x^6m-1 chia hết cho x⁶-1 , x⁶ⁿ-1 chia hết cho x⁶-1 và 

              x⁶-1=(x³+1)(x³-1) chia hết cho x²-x+1

              x⁴+x²+1=(x²+1)²-x² chia hết cho x²-x+1

 => đpcm

câu này cũng không khó nếu mình dùng cách chứng mình như sau

với n=0 ta luôn luôn có 9\(9^{0+1}=9\) không chia hết cho 2016

giả định với n=k ta có mệnh đề 9^k+1 không chia hết cho 2016 đặt mệnh đề là A

TIẾP tục ta cần chứng minh với n=k+1 cũng không chia hết cho 2016

thật vậy  \(9^{k+1+1}=9A\)   

MÀ THEO dữ kiện với A Không chia hết cho 2016 9 không chia hết cho 2016

nên 9^k+1+1 cũng không chia hết cho 2016

hay với mọi số tự nhiên n thì 9ⁿ⁺¹  không chia hết cho 2016

Đặt A = n^6 + n^4 – 2n^2 = n^2 (n^4 + n^2 – 2) 
= n^2 (n^4 – 1 + n^2 – 1) 
= n^2 [(n^2 – 1)(n^2 + 1) + n^2 – 1] 
= n^2 (n^2 – 1)(n^2 + 2) 
= n.n.(n – 1)(n + 1)(n^2 + 2) 
+ Nếu n chẳn ta có n = 2k (k thuộc N) 
A = 4k^2 (2k – 1)(2k + 1)(4k^2 + 2) = 8k^2 (2k – 1)(2k + 1)(2k^2 + 1) 
Suy ra A chia hết cho 8 
+ Nếu n lẻ ta có n = 2k + 1 (k thuộc N) 
A = (2k + 1)^2 . 2k (2k + 2)(4k^2 + 4k + 1 + 2) 
= 4k(k + 1)(2k + 1)^2 (4k^2 + 4k + 3) 
k(k + 1) chia hết cho 2 vì là tích hai số liên tiếp 
Suy ra A chia hết cho 8 
Do đó A chia hết cho 8 với mọi n thuộc N 
* Nếu n chia hết cho 3 thì A chia hết cho 9. Nên A chia hết cho 72. 
* Nếu n không chia hết cho 3 thì n^2 là số chính phương nên chia 3 dư 1 (vì số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1). 
Suy ra n^2 + 2 chia hết cho 3. Mà n (n – 1)(n + 1) là tích 3 số liên tiếp nên có số chia hết cho 3. Suy ra A chia hết cho 9. Do đó A chia hết cho 72. 
Vậy A chia hết cho 72 với mọi n thuộc N.

Chép hả Lý