M=n^3(n^2−7)^2−36n

n[n^2(n^2−7)^2−36]

= n.[(n^3−7n)^2−6^2]

= n(n^3−7n−6)(n^3−7n+6)

=(n−3)(x−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n+3)

M luôn chia hết cho 2;3;5. Các số này đôi 1 nguyên tố cùng nhau => B chia hết cho 105

Bạn đã giải được bài này chưa?

B = n³(n²-7)^2-36n
   = n³(n⁴-14n²+49)-36n
   = n⁷ - 14n⁵ + 49n³ - 36n
   = n(n⁶ - 14n⁴ +49n² -36)
   = n(n⁶ - n⁵ + n⁵ - n⁴ - 13n⁴ + 13n³ - 13n³ + 13n² + 36n² - 36n + 36n - 36)
   = n[n⁵(n-1)+n⁴(n-1)-13n³(n-1)-13n²(n-1)+36n(n-1)+36(n-1)]
   = n(n-1)(n⁵+n⁴-13n³-13n²+36n+36)
   = n(n-1)[n⁴(n+1)-13n²(n+1)+36(n+1)]
   = n(n-1)(n+1)(n⁴-13n²+36)
   = n(n-1)(n+1)(n⁴-9n²-4n²+36)
   = n(n-1)(n+1)[n²(n²-9)-4(n²-9)]
   = n(n-1)(n+1)(n²-9)(n²-4)
   = n(n-1)(n+1)(n-3)(n+3)(n-2)(n+2)
   = (n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)
Có \(B⋮3\); \(B⋮5\);\(B⋮7\)(vì có 7 số tự nhiên liên tiếp)
Mà 3; 5; 7 đôi một nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow B⋮3.5.7\Rightarrow B⋮105\)(đpcm)

Vì đây là 7 số nguyên liên tiếp

nên A chia hết cho 7!

=>A chia hết cho 5040

=>A chia hết cho 105

\(A=n\left[n^2\left(n^2-7\right)^2-36\right]=n\left[\left(n^3-7n\right)^2-36\right]\)

\(=n\left(n^3-7n-6\right)\left(n^3-7n+6\right)\)

\(=n\left(n-3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)\left(n+3\right)\)

\(\Rightarrow A\) là tích 7 số nguyên liên tiếp nên A luôn chia hết cho 7

vì n chẵn nên n= 2m (m thuộc z) => (2m)^3 - 4(2m) chia hết cho 8

mà 8m^3 - 8m = 8m( m^2 -1)= 8 (m-1)m(m+1) do (m-1)m(m+1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên (m-1)m(m+1) chia hết cho 6

vậy 8(m-1)m(m+1) chia hết cho 48