Ta có:

\(21b+\frac{3}{a}=\frac{3}{a}+\frac{a}{3}+\frac{62a}{3}\ge2\sqrt{\frac{3}{a}.\frac{a}{3}}+\frac{62.3}{3}=2+62=64\left(a\ge3\right)\left(1\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{3}{a}=\frac{a}{3}\)và  \(a=3\Leftrightarrow a=3\)

\(\frac{21}{b}+3b=\frac{21}{b}+\frac{7b}{3}+\frac{2b}{3}\ge2\sqrt{\frac{21}{b}.\frac{7b}{3}}+\frac{2.3}{3}=14+2=16\left(b\ge3\right)\left(2\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{21}{b}=\frac{7b}{3}\)và  \(b=3\Leftrightarrow b=3\)

Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh.

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=3\)

ặt $x+1=t$ thì $t>0$ và  $x=-1+t$. Ta có

           $2x+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{{\left(x+1\right)}^2}=2\left(-1+t\right)+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{t^2}=-2+t+t+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{t^2}$

                                                                       $\ge -2+3\sqrt[3]{t.t.\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{t^2}}=-2+3=1$  

1

\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2-y^2\right)^2}{x^2y^2}\ge\dfrac{3\left(x-y\right)^2}{xy}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left[\left(x-y\right)\left(x+y\right)\right]^2}{x^2y^2}-\dfrac{3\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x^2y^2}-\dfrac{3}{xy}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\dfrac{\left(x+y\right)^2-3xy}{x^2y^2}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\dfrac{x^2+y^2-xy}{x^2y^2}\right)\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(x+\frac{1}{2x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{2x}}=2\sqrt{\frac{1}{2}}\)

\(y+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{y\cdot\frac{2}{y}}=2\sqrt{2}\)

=> \(x+\frac{1}{2x}+y+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{2}}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=\sqrt{\frac{1}{2}}\\y=\sqrt{2}\end{cases}}\)

ấp dụng bđt cosy cho 2 cặp số dương \(\left(x,\frac{1}{2x}\right)\)và \(\left(y,\frac{2}{y}\right)\)ta có

\(x+\frac{1}{2x}+y+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{2x}}+2\sqrt{y.\frac{2}{y}}=2.\sqrt{\frac{1}{2}}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)

Nếu đề không có điều kiện gì thêm, với x = 0 => VT = 2 < 3

\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3y^3}}}{xy}=\dfrac{\sqrt{3xy}}{xy}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\)

Tương tự \(\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}};\dfrac{\sqrt{1+x^3+z^3}}{xz}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{xz}}\)

\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)\ge\sqrt{3}.\dfrac{3}{\sqrt[3]{xyz}}=3\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Note \(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2=\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+2\)

Nên ta sẽ đặt \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=t\ge2\). Khi đó

\(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2+2\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)

\(t^2+2\ge3t\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t-1\right)\ge0\)

BĐT cuối đúng vì \(t\ge 2\)

x^8 - x^7 + x^2 - x + 1 

= x^7(x-1) + x(x-1) +1

= (x-1)(x^7 + x) + 1

= (x^2-x)(x^6+1) + 1

Ta có: x^2 - x lớn hơn hoặc = 0; x^6 + 1 >0

=> (x^2-x)(x^6+1) lơn hơn hoặc bằng 0

=> (x^2+1)(x^6+1) + 1 > 0

=> x^8 - x^7 + x^2 - x + 1 > 0 (đpcm)