a.

2009²⁰⁰⁸ + 2011²⁰¹⁰ = (2009²⁰⁰⁸ +1) + ( 2011²⁰¹⁰ - 1)

Vì: 2009²⁰⁰⁸ + 1 = ( 2009 + 1) ( 2009²⁰⁰⁷ - ...)

= 2010 . ( ..) chia hết cho 2010 (1)

2011²⁰¹⁰ - 1 = ( 2011 - 1)(2011²⁰⁰⁹ +...)

= 2010 .(...) chia hết cho 2010 (2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm

b.

Tham khảo tại đây nha:

[Toán 8] giúp mình mấy bài toán chứng minh | Diễn đàn HOCMAI - Cộng đồng học tập lớn nhất Việt Nam

1)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left|x-2\right|+3=5\\\left|x-2\right|+3=-5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left|x-2\right|=2\\\left|x-2\right|=-8\left(loai\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=2\\x-2=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=0\end{matrix}\right.\)

tho nhu hut thuoc

bai thi .....................kho..........................kho..............troi.................thilanh.............................ret..................wa.........................dau................wa......................tich....................ung.....................ho.....................cho............do.................lanh...............tho...................bang..................mom...................thi...................nhu..................hut.....................thuoc................la.................lanh wa

Ta có 1+x²+1+y²=2+x²+y²,2/1+xy=2+xy. Do 2=2 nên ta cần so sánh x²+y² với xy với x,y>=1 và x,y thuộc R.

Già sử x<y thì xy<y² và y²<x²+y² nên xy<x²+y² (1)

Giả sử x>y thì xy<x²và x²<x²+y²nên xy<x²+y²(2)

Giả sử x=y thì xy=x²=y² và x²<x²+y² nên xy<x²+y²(3)

Kết hợp 1,2,3 suy ra xy luôn bé hơn x²+y² . Suy ra đpcm

Phuc Trran Tại sao 2/1+xy=2+xy

a) \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\Leftrightarrow\frac{2+x^2+y^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge\frac{2}{1+xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(2+x^2+y^2\right)\left(1+xy\right)\ge2\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2+2xy+x^2+x^3y+y^2+y^3x\ge2\left(x^2+y^2+x^2y^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3y+xy^3+2xy-x^2-y^2-2x^2y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x^2-2xy+y^2\right)-\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)

ĐKXĐ: ...

a/ \(A=x-2009-4\sqrt{x-2009}+4=\left(\sqrt{x-2009}-2\right)^2\ge0\)

\(A_{min}=0\) khi \(\sqrt{x-2009}-2=0\Rightarrow x=2013\)

b/ \(\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{x-2009}-1}{x-2009}+\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{y-2010}-1}{y-2010}+\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{z-2011}-1}{z-2011}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-2009-4\sqrt{x-2009}+4}{4\left(x-2009\right)}+\frac{y-2010-4\sqrt{y-2010}+4}{4\left(y-2010\right)}+\frac{z-2011-4\sqrt{z-2011}+4}{4\left(z-2011\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{x-2009}-2\right)^2}{4\left(x-2009\right)}+\frac{\left(\sqrt{y-2010}-2\right)^2}{4\left(y-2010\right)}+\frac{\left(\sqrt{z-2011}-2\right)^2}{4\left(z-2011\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2009}-2=0\\\sqrt{y-2010}-2=0\\\sqrt{z-2011}-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2013\\y=2014\\z=2015\end{matrix}\right.\)