a) Ta có: (n² + n - 1)² - 1

= ( n² + n - 1 + 1)(n² + n - 1 - 1)

= (n² + n)(n² + n - 2)

= n(n + 1)(n² + 2n - n - 2)

= n(n+ 1)[n(n + 2) - (n + 2)]

= n(n + 1)(n - 1)(n + 2)

Do n(n + 1)(n - 1)(n + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp 

nên 1 thừa số chia hết cho 2

        1 thừa số chia hết cho 3

          1 thừa số chia hết cho 4

mà (2, 3, 4) = 1

=> n(n + 1)(n - 1)(n + 2) \(⋮\)2.3.4 = 24

=> (n² + n - 1)² - 1 \(⋮\)24 \(\forall\)n \(\in\)Z

b) Do n chẵn => n có dạng 2k (k \(\in\)Z)

Khi đó, ta có: n³ + 6n² + 8n

= (2k)³ + 6.(2k)² + 8.2k

= 8k³ + 24k² + 16k

= 8k(k² + 3k + 2)

= 8k(k² + 2k + k + 2)

= 8k[k(k + 2) + (k + 2)]

= 8k(k + 1)(k + 2)

Do k(k + 1)(k + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp

nên 1 thừa số chia hết cho 2

   1 thừa số chia hết cho 3

=> k(k + 1)(k + 2) \(⋮\)2.3 = 6

=> 8k(k + 1)(k + 2) \(⋮\)8.6 = 48

Vậy n³ + 6n² + 8n \(⋮\)48 \(\forall\)n là số chẵn

2009^2010đồng dư với 1 (theo mod 2010)

1)

a)2⁵¹-1

=(2³)¹⁷-1\(⋮\)2³-1=7

Vậy 2⁵¹-1\(⋮\)7

b)2⁷⁰+3⁷⁰

=(2²)³⁵+(3²)³⁵\(⋮\)2²+3²=13

Vậy 2⁷⁰+3⁷⁰\(⋮\)13

c)17¹⁹+19¹⁷

=(BS18-1)¹⁹+(BS18+1)¹⁷

=BS18-1+BS18+1

=BS18\(⋮\)18

d)36⁶³-1\(⋮\)35\(⋮\)7

Vậy 36⁶³-1\(⋮\)7

36⁶³-1

=36⁶³+1-2

=BS37-2\(⋮̸\)37

Vậy 36⁶³-1\(⋮̸\)37

e)2⁴ⁿ-1

=(2⁴)ⁿ-1\(⋮\)2⁴-1=15

Vậy 2⁴ⁿ-1\(⋮\)15

BS là gì vậy bạn???

b) n³ + 6n² + 8n

= n( n² + 6n + 8)

= n( n² + 2n + 4n + 8)

= n[ n( n +2) + 4( n +2)]

= n( n +2)( n + 4)

Do n chẵn nên ta đặt : 2k = n

Ta có : 2k( 2k +2)( 2k +4)

= 2k.2( k +1)2( k +2)

= 8k( k + 1)( k +2)

Do : k;( k +1);( k +2) là 3 STN liên tếp sẽ chia hết cho 2,3

Suy ra : k( k + 1)( k +2) chia hết cho 6

Suy ra : 8k( k + 1)( k +2) chia hết cho 48

a) 24= 2.3.4

(n^2+n-1)^2-1 = (n^2-1+1+n).(n^2+n+1+1)

=(n^2+n).(n^2+n+2)=n.(n-1).(n-1).(n-2)

Tích của 4 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2,3,4

Mà U(2,3,4)=1 =>(n^2+n-1)^2 chia hết cho 2.3.4

a) Ta có: ( 3 n   -   1 ) 2  - 4 = (3n - 1 - 2)(3n - 1 + 2) = 3(n - l)(3n + 1).

Do 3(n - 1)(3n + l) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n, nên  ( 3 n   -   1 ) 2  - 4 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n;

b) Ta có: 100 - ( 7 n   +   3 ) 2  =(7 - 7n)(13 – 7n) = 7(1 - n)(13 -7n) chia hết cho 7 với n là số tự nhiên.

xem lại câu a nhé bạn

a, Ta có: \(\left(n^2+3n-1\right)\left(n+2\right)-n^3+2\)

\(=n^3+3n^2-n+2n^2+6n-2-n^3+2\)

\(=5n^2+5n=5\left(n^2+n\right)⋮5\)

\(\Rightarrowđpcm\)

b, \(\left(6n+1\right)\left(n+5\right)-\left(3n+5\right)\left(2n-1\right)\)

\(=6n^2+31n+5-6n^2-7n+5\)

\(=24n+10=2\left(12n+5\right)⋮2\)

\(\Rightarrowđpcm\)

a) $\left(n^2+3n-1\right)\left(n+2\right)-n^3+2$

= n³ + 2n² + 3n² + 6n - n - 2 + 2

= 5n² + 5n

= 5(n² + n ) chia hết cho 5

b) $\left(6n+1\right)\left(n+5\right)-\left(3n+5\right)\left(2n-1\right)$

$=\; 6n2\; +\; 30n\; +\; n\; +\; 5\; -\; 6n2\; +\; 3n\; -\; 10n\; +5$

$=\; 24n\; +\; 10$

= 2(12n +5) chia hết cho 2

a: Với n=3 thì \(n^3+4n+3=3^3+4\cdot3+3=42⋮̸8\) nha bạn

b: Đặt \(A=n^3+3n^2-n-3\)

\(=\left(n^3+3n^2\right)-\left(n+3\right)\)

\(=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

n lẻ nên n=2k+1

=>\(A=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=2k\cdot\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)\)

\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Vì k;k+1;k+2 là ba số nguyên liên tiếp

nên \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮3!=6\)

=>\(A=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮6\cdot8=48\)

c: 

d: Đặt \(B=n^4-4n^3-4n^2+16n\)

\(=\left(n^4-4n^3\right)-\left(4n^2-16n\right)\)

\(=n^3\left(n-4\right)-4n\left(n-4\right)\)

\(=\left(n-4\right)\left(n^3-4n\right)\)

\(=n\left(n-4\right)\left(n^2-4\right)\)

\(=\left(n-4\right)\cdot\left(n-2\right)\cdot n\cdot\left(n+2\right)\)

n chẵn và n>=4 nên n=2k

B=n(n-4)(n-2)(n+2)

\(=2k\left(2k-2\right)\left(2k+2\right)\left(2k-4\right)\)

\(=2k\cdot2\left(k-1\right)\cdot2\left(k+1\right)\cdot2\left(k-2\right)\)

\(=16k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k-2\right)\)

Vì k-2;k-1;k;k+1 là bốn số nguyên liên tiếp

nên \(\left(k-2\right)\cdot\left(k-1\right)\cdot k\cdot\left(k+1\right)⋮4!=24\)

=>B chia hết cho \(16\cdot24=384\)