Lời giải:
$n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$
Vì $n(n-1)(n+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên $n(n-1)(n+1)\vdots 3$
Vì $n(n-1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp nên $n(n-1)\vdots 2$

$\Rightarrow n^5-n\vdots 2,3$
Mà $(2,3)=1$ nên $n^5-n\vdots 6(*)$

Mặt khác:
Ta biết rằng 1 scp chia 5 có thể có dư là $0,1,4$
$\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5, \forall n$ nguyên $(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow n^5-n\vdots (5.6=30)$

a/ \(n^3-n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) 

Ta có : \(n\in Z\Leftrightarrow n-1;n;n+1\in Z\) và là 3 số nguyên liên tiếp

\(\Leftrightarrow n^3-n⋮6\left(đpcm\right)\)

b/ \(A=n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

Ta có : \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\)

+) Nếu \(n=5k\Leftrightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\Leftrightarrow A⋮30\)

+) Nếu \(n=5k+1\Leftrightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\Leftrightarrow A⋮30\)

+) Nếu \(n=5k+2\Leftrightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\Leftrightarrow A⋮30\)

+) Nếu \(n=5k+3\Leftrightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\Leftrightarrow A⋮30\)

+) Nếu \(n=5k+4\Leftrightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮30\Leftrightarrow A⋮30\)

Vậy...

a: \(n^3-n\)

\(=n\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\)

Vì n-1, n và n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮3\)

b: Ta có: \(n^5-n\)

\(=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)⋮30\)

\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2+1\right)\left(n^2-1\right)=n\left(n^2+1\right)\left(n+1\right)\left(n-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n-2\right)+5n\left(n+1\right)\left(n-1\right)⋮5\)