a,

n kog chia hết cho 3. Ta có: n = 3k +1 và n = 3k+2

TH1: n² : 3 <=> (3k+1)² : 3 = (9k²+6k+1) : 3 => dư 1

TH2: n² : 3 <=> (3k+2)² : 3 = (9k²+12k+4) : 3 = (9k²+12k+3+1) : 3 => dư 1 

các phần sau làm tương tự.

Với \(a\in Z\), 5 là số nguyên tố nên theo định lí Phéc-ma ta có:

\(a^5-a\) \(⋮5\)

Mà theo đề \(a^5⋮5\) nên a \(⋮5\) hay \(a^2⋮25\) và 150n \(⋮25\)

Vậy \(a^2+150n\) \(⋮25\)

Có a² - 1 = (a+1)(a-1) 

Xét tích (a-1)a(a+1) chia hết cho 3

Do a là số ng tố > 3 nên a không chia hết cho 3
=> (a-1)(a+1) chia hết cho 3          (1)

Có a là số lẻ, đặt a = 2k + 1
Do vậy a² - 1 = 4k(k+1)

Có k(k+1) luôn chia hết cho 2 => ak(k+1) chia hết cho 8            (2)

Từ (1) và (2) suy ra a² - 1 chia hết cho 24 ( vì (3;8) =1 )

\(\frac{\text{(a+1)[a(a-1)-(a+3)(a+2)]}}{a+1}\)

ta có:

(a+1).a.(a-1) chia hết cho 6

(a+1).(a+3).a+2) chia hết cho 6.

(3 số tự nhiên liên kề thì chia hết cho 6);

suy ra : a(a-1)-(a+3)(a+2) chia hết cho 6

a)Ta có:\(a\left(a-1\right)-\left(a+2\right)\left(a+3\right)=a^2-a-a^2-5a-6=-6a-6\) chia hết cho 6

Câu b) tương tự.

\(a+3\text{ chia hết cho 5 do đó:}a\text{ chia 5 dư 2};\text{ }b+4\text{ chia hết cho 5 nên }b\text{ chia 5 dư 1}\)

\(\text{ do đó:}a^2+b^2\equiv2^2+1^2\equiv5\equiv0\left(\text{mod 5}\right)\text{ ta có điều phải chứng minh}\)

Vì \(a+3⋮5\)\(\Rightarrow\)\(a\)có dạng \(a=5m+2\)( \(m\inℤ\))

    \(b+4⋮5\)\(\Rightarrow\)\(b\)có dạng \(b=5n+4\)( \(n\inℤ\) )

\(a^2+b^2=\left(5m+2\right)^2+\left(5n+1\right)^2\)

\(=25m^2+20m+4+25n^2+10n+1\)

\(=25m^2+20m+25n^2+10n+5⋮5\)( đpcm )

1)

a)2⁵¹-1

=(2³)¹⁷-1\(⋮\)2³-1=7

Vậy 2⁵¹-1\(⋮\)7

b)2⁷⁰+3⁷⁰

=(2²)³⁵+(3²)³⁵\(⋮\)2²+3²=13

Vậy 2⁷⁰+3⁷⁰\(⋮\)13

c)17¹⁹+19¹⁷

=(BS18-1)¹⁹+(BS18+1)¹⁷

=BS18-1+BS18+1

=BS18\(⋮\)18

d)36⁶³-1\(⋮\)35\(⋮\)7

Vậy 36⁶³-1\(⋮\)7

36⁶³-1

=36⁶³+1-2

=BS37-2\(⋮̸\)37

Vậy 36⁶³-1\(⋮̸\)37

e)2⁴ⁿ-1

=(2⁴)ⁿ-1\(⋮\)2⁴-1=15

Vậy 2⁴ⁿ-1\(⋮\)15

BS là gì vậy bạn???

Đặt \(A=a^5+b^5+c^5\)

\(A-\left(a+b+c\right)=a^5-a+b^5-b+c^5-c\)

Ta có: \(B=a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)

Nếu \(a\) chia hết cho 5 \(\Rightarrow B\) chia hết cho 5

Nếu a chia 5 dư 1 hoặc -1 \(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) chia hết chi 5 \(\Rightarrow\)B chia hết cho 5

Nếu a chia 5 dư 2 hoặc -2 \(\Rightarrow a^2+1\) chia 5 dư \(\left(\pm2\right)^2+1=5\Rightarrow a^2+1⋮5\Rightarrow B⋮5\)

Vậy \(B=a^5-a⋮5\) với mọi a nguyên

Hoàn toàn tương tự, \(b^5-b\) và \(c^5-c\) chia hết cho 5 với mọi b; c

\(\Rightarrow A-\left(a+b+c\right)⋮5\Rightarrow A⋮5\) (đpcm)

(Có thể ngắn gọn hơn là \(a^5\equiv a\left(mod5\right)\Rightarrow a^5-a⋮5\) ; \(\forall a\in Z\))

1) a, Chứng minh a^5-a chia hết cho 5

b, Chứng minh a^7-a chia hết cho 7

Phạm Lý câu tl này là bỏ.

Câu 1 mik gửi link r đs