Gọi số chính phương cần tìm là \(\overline{abcd}\left(0\le b,c,d\le9;1\le a\le9;a,b,c,d\inℕ\right)\)

Ta dễ có: \(1000\le\overline{abcd}\le9999\Rightarrow\sqrt{1000}\le\sqrt{\overline{abcd}}\le\sqrt{9999}\Rightarrow32\le\sqrt{\overline{abcd}}\le99\)suy ra căn bậc hai của số \(\overline{abcd}\)là số tự nhiên có hai chữ số.

Đặt \(\sqrt{\overline{abcd}}=\overline{mn}\left(m,n\inℕ;0\le n\le9;3\le m\le9\right)\)

Theo đề thì chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là số nguyên tố nên \(d\in\left\{2;3;5;7\right\}\)mà số chính phương không có tận cùng bằng \(\left\{2;3;7\right\}\)nên d = 5 do đó n = 5 (Vì số chính phương có tận cùng bằng 5 thì căn bậc hai của nó cũng tận cùng bằng 5)

Lúc này ta được: \(\sqrt{\overline{abc5}}=\overline{m5}\)

Ta có đánh giá quen thuộc rằng số chính phương chia 3 thì hoặc dư 0 hoặc dư 1 do đó \(m+5\)chia 3 dư 0 hoặc dư 1 (theo đề thì căn bậc hai của số cần tìm có tổng các chữ số là số chính phương)

Xét từng trường hợp thì \(\overline{m5}\in\left\{45;55;75;85\right\}\)nhưng chỉ có số 45 có tổng các chữ số là số chính phương (9) nên ta chọn số 45\(\Rightarrow\overline{abcd}=45^2=2025\)

Vậy số chính phương có 4 chữ số cần tìm là 2025

1.Vì số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên có thể thấy ngay số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9

2. 

Một số chính phương được gọi là số chính phương chẵn nếu nó là bình phương của một số chẵn, là số chính phương lẻ nếu nó là bình phương của một số lẻ. (Nói một cách khác, bình phương của một số chẵn là một số chẵn, bình phương của một số lẻ là một số lẻ)

chưa hẳn số chính phương bao giờ cũng TC = các chữ số đó đâu

VD: 21 không là số chính phương

81=9² là số chính phương

Xét tổng: 

+) Hỏi rằng  các số: \(1^2;2^2;3^2;...;1982^2\) viết liền nhau và xếp theo một thứ tự nào đó thì có phải là số chính phương

Xét \(1^2+2^2+3^2+4^2+...+1982^2\)

\(=\frac{1982.\left(1982+1\right)\left(2.1982+1\right)}{6}\)

\(=991.661.3695\)

Ta có: \(9+9+1=19;1+9=10;1+0=1\)

\(661=6+6+1=13;1+3=4\)

\(3695=3+6+9+5=23;2+3=5\)

Và \(1.4.5=20;2+0=2\)

=> Số gốc của tổng \(1^2+2^2+3^2+4^2+...+1982^2\) bằng 2  khác 1; 4; 9; 7

=> \(1^2;2^2;3^2;...;1982^2\) có viết thành bất kì một thứ tự nào nữa cũng ko là số chính phương 

Đặt a1=14;a2=144;a3=1444;an=144..4, ta xét các trường hợp a, n<4.

Ta dễ dàng thấy a1=14 không phải là số chính phương và a2=144=122 ; a3=1444=382 là các số chính phương.

b,n>4

Ta có : an=144..4=10000b+4444(bεZ) 

Vì 10000:16 và 4444 chia 16 dư 12 nên an chia 16 dư 12

Giả sử an=(4k+2)2=16(k2+k)+4=>an chia 16 dư 4. Vô lý.

Vậy an không phải là số chính phương.

Kết luận : Trong dãy số tự nhiên an=144..4,, chỉ có a2=144 và a3=1444 là các số chính phương

hổng biết nha bạn

m cx đng cần gấp 

Gọi 2 số lẻ liên tiếp là 2k−1 và 2k+1, với k là số tự nhiên.

Tổng các bình phương của hai số lẻ liên tiếp là: (2k−1)2+(2k+1)2=4k2−4k+1+4k2−4k+1=8k2+2

Tổng trên chia cho 4 dư 2; Vậy nó không thể là số chính phương (Số chính phương hoặc chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1)

Vì a và b là số lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + 1 (Với k, m\(\in\)N)
=> a² + b² = (2k + 1)² + (2m + 1)²
= 4k² + 4k + 1 + 4m² + 4m + 1
= 4(k² + k + m² + m) + 2
=> a² + b² không thể là số chính phương .