\(b,n^4-10n^2+9=n^4-n^2-9n^2+9=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\\ =\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

Vì \(n\in Z\) và n lẻ nên \(n=2k+1\left(k\in Z\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\\ =2k.\left(2k+2\right).\left(2k-2\right).\left(2k+4\right)\\ =16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)\)

Vì \(k,k+1,k-1,k+2\) là 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho \(1.2.3.4=24\)

Do đó \(16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)⋮24.16=384\)

Câu c đâu chị

a) Áp dụng định lí nhỏ Fermat vào biểu thức \(n^5-n\), ta được:

\(n^5-n⋮5\)(vì 5 là số nguyên tố)

Ta có: \(n^5-n\)

\(=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(n^2+1\right)\)

Vì n-1 và n là hai số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)\cdot n⋮2\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮2\)

Vì n-1; n và n+1 là ba số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮3\)

mà \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮2\)(cmt)

và ƯCLN(2;3)=1

nên \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮2\cdot3\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮6\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(n^2+1\right)⋮6\)

hay \(n^5-n⋮6\)

mà \(n^5-n⋮5\)(cmt)

và ƯCLN(6;5)=1

nên \(n^5-n⋮6\cdot5\)

hay \(n^5-n⋮30\)(đpcm)

a)Ta có: 
P = x^5 - x 
= x(x^4 - 1) 
= x(x^2 - 1)(x^2 + 1) 
= x(x-1)(x+1)(x^2 + 1) 

(x-1) và x và (x+1) là 3 số nguyên liên tiếp 
=> x(x-1)(x+1) chia hết cho 6 (cái này dễ hiểu vì trong 3 số nguyên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia hết cho 2) 

Xét x = 5k => x chia hết cho 5 => P chia hết cho 6*5 = 30 => đpcm 
Xét x = 5k + 1 => (x-1) chia hết cho 5 => đpcm 
Xét x = 5k - 1 => (x+1) chia hết cho 5 => đpcm 
Xét x = 5k + 2 => (x^2 + 1) = (25k^2 + 20k + 5) chia hết cho 5 => đpcm 
Xét x = 5k - 2 => (x^2 + 1) = (25k^2 - 20k + 5) chia hết cho 5 => đpcm 

Tóm lại: với mọi x nguyên thì P đều chia hết cho 30

b)m4−10n2+9m4−10n2+9=(m-3)(m-1)(m+1)(m+3)
Ta có trong 4 số chẵn4 liên típ(m lẻ) lun có : 1 số chia hết cho 8,1 số chia hết cho 4, 2 số chia hết cho 2
\Rightarrow (m-3)(m-1)(m+1)(m+3) chia hết cho 128
.Nếu m= 3k \Rightarrow m-3 chia hết cho 3
.Nếu m= 3k+1 \Rightarrow m-1 chia hết cho 3
.Nếu m= 3k+2 \Rightarrow m+1 chia hết cho 3
Mà (3,128)=1 \Rightarrow ĐPCM

a)\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)=n\left(2n-3\right)-n\left(2n+2\right)=n\left(2n-3-2n-2\right)\)

\(=n\left(-5\right)=-5n\) chia hết cho 5 với n thuộc Z

b)\(\left(n-1\right)\left(n+4\right)-\left(n-4\right)\left(n+1\right)=\left(n^2+3n-4\right)-\left(n^2-3n-4\right)\)

\(=n^2+3n-4-n^2+3n+4=6n\) chia hết cho 6 với n thuộc Z