Ta có:

\(\dfrac{tanA}{tan^3B}=\dfrac{tanA}{tanB}.\dfrac{1}{tan^2B}=\dfrac{\dfrac{sinA}{cosA}}{\dfrac{sinB}{cosB}}.\dfrac{cos^2B}{sin^2B}\)

\(=\dfrac{sinA}{sinB}.\dfrac{cosB}{cosA}.\dfrac{cos^2B}{sin^2B}\)

\(=\dfrac{a}{b}.\dfrac{\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}{\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}.\dfrac{\left(\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)^2}{1-\left(\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)^2}\)

\(=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{b^2+c^2-a^2}.\dfrac{\left(a^2+c^2-b^2\right)^2}{\left(2ac\right)^2-\left(a^2+c^2-b^2\right)^2}\)

\(=\dfrac{\left(a^2+c^2-b^2\right)^3}{b^2+c^2-a^2}.\dfrac{1}{\left[\left(a+c\right)^2-b^2\right]\left[b^2-\left(a-c\right)^2\right]}\)

\(=\dfrac{\left(a^2+c^2-b^2\right)^3}{b^2+c^2-a^2}.\dfrac{1}{\left(a+b+c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)}\)

Biến đổi tương tự, ta có BĐT tương đương với BĐT đã cho:

\(\dfrac{\left(a^2+c^2-b^2\right)^3}{b^2+c^2-a^2}+\dfrac{\left(a^2+b^2-c^2\right)^3}{a^2+c^2-b^2}+\dfrac{\left(b^2+c^2-a^2\right)^3}{a^2+b^2-c^2}\ge\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)\)

Ta có BĐT phụ sau:

\(\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x}\ge xy+yz+xz\left(\text{*}\right)\) với \(x,y,z>0\)

Chứng minh:

Áp dụng BĐT cộng mẫu:

\(\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x}=\dfrac{x^4}{xy}+\dfrac{y^4}{yz}+\dfrac{z^4}{xz}\)

\(\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+xz}\ge\dfrac{\left(xy+yz+xz\right)^2}{xy+yz+xz}=xy+yz+xz\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)

Áp dụng BĐT \(\left(\text{*}\right)\), với đk \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn, ta có:

\(\dfrac{\left(a^2+c^2-b^2\right)^3}{b^2+c^2-a^2}+\dfrac{\left(a^2+b^2-c^2\right)^3}{a^2+c^2-b^2}+\dfrac{\left(b^2+c^2-a^2\right)^3}{a^2+b^2-c^2}\ge\left(a^2+c^2-b^2\right)\left(a^2+b^2-c^2\right)+\left(a^2+b^2-c^2\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)+\left(b^2+c^2-a^2\right)\left(a^2+c^2-b^2\right)\)

Ta chứng minh được:

\(\left(a^2+c^2-b^2\right)\left(a^2+b^2-c^2\right)+\left(a^2+b^2-c^2\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)+\left(b^2+c^2-a^2\right)\left(a^2+c^2-b^2\right)=\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)\)

\(=-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2\)

Vậy ta có BĐT cần chứng minh, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^0\)

HD: Thay sinC = sin(A + B).

mình làm cách này là cách khj nào mà ko cách nào khác ms làm vậy thôi, áp dụng định lí sin và cosin trong tam giác

woooooooooo lớp 11

\(\Rightarrow \tan A+\tan C=2\tan B\)

\(\Leftrightarrow \frac{\sin\left ( A+C \right )}{\cos A\cos C}=2\cdot\frac{\sin\left ( A+C \right )}{\cos B}\\\)

\(\Rightarrow \cos B=2\cos A\cos C\)

\(\Leftrightarrow 2\cos B=\cos(A-C)\)

\(\left (\cos A+\cos C \right )^2=\cos^2 A+\cos^2 C+2\cos A\cos C\\=\frac{\cos2A+\cos2C}{2}+1+\cos B\\=-\cos(B)\cos(A-C)+1+\cos B \\=-2\cos^2B+\cos B+1 \le \frac{9}{8}\\\Rightarrow \cos A+\cos C\le \frac{3\sqrt2}{4}\)

Chứng minh hoàn tất.

đề sai hay sao á

nếu \(\frac{tanB}{tanC}=\frac{sin^2B}{sin^2C}\) thì làm kiểu này
\(\frac{tanB}{tanC}=\frac{sin^2B}{sin^2C}=>\frac{sinB.cosC}{cosB.sinC}-\frac{sin^2B}{sin^2C}=0 \)
\(\frac{sinB}{sinC}\left(\frac{cosC}{cosB}-\frac{sinB}{sinC}\right)=0=>sinB=0\left(bỏ\right)\)
\(\frac{cosC}{cosB}-\frac{sinB}{sinC}=0=>sinC.cosC=sinB.cosB\)
\(sin2C=sin2B=>B=C\) hoặc \(\widehat{B}+\widehat{C}=\frac{\pi}{2}\)
tam giác vuông hoặc cân tại A

Áp dụng Viet với lưu ý \(tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC\) ta có:

\(x_4+tanA+tanB+tanC=p\) (1)

\(x_4\left(tanA+tanB+tanC\right)+tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA=q\) (2)

\(x_4\left(tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA\right)+tanA.tanB.tanC=r\)(3)

\(x_4.tanA.tanB.tanC=s\) (4)

\(\left(1\right)\Rightarrow tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC=p-x_4\)

\(\left(4\right)\Rightarrow x_4\left(p-x_4\right)=s\)

Thế vào (2):

\(x_4\left(p-x_4\right)+tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA=q\)

\(\Rightarrow tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA=q-x_4\left(p-x_4\right)=q-s\)

Thế vào (3):

\(x_4\left(q-s\right)+p-x_4=r\)

\(\Rightarrow p-r=x_4\left(1-q+s\right)\Rightarrow x_4=\frac{p-r}{1-q+s}\)

*ba góc

Ta có : \(\sin^2a+\cos^2a=1\Rightarrow\cos a=\frac{\sqrt{21}}{5}\)

Ta có : \(\frac{\cot a-\tan a}{\cot a+\tan a}=\frac{\frac{\cos a}{\sin a}-\frac{\sin a}{\cos a}}{\frac{\cos a}{\sin a}+\frac{\sin a}{\cos a}}\\ =\frac{\frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{\frac{2}{5}}-\frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}}}{\frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{\frac{2}{5}}+\frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}}}=\frac{17}{25}=0,68\)

có cả TH cos âm mà

tan a=13/8

=>sina/cosa=13/8

=>sin a và cosa cùng dấu

0<a<pi/2

=>sin a>0; cosa>0

1+tan^2a=1/cos^2a

=>1/cos^2a=1+169/64=233/64

=>cos^2a=64/233

=>cosa=8/căn 233

\(sina=\sqrt{1-\dfrac{64}{233}}=\dfrac{13}{\sqrt{233}}\)

\(cota=1:tana=\dfrac{8}{13}\)