Gọi 5 số chính phương liên tiếp là: \(\left(n-2\right)^2;\left(n-1\right)^2;n^2;\left(n+1\right)^2;\left(n+2\right)^2\)

Ta có: \(\left(n-2\right)^2+\left(n-1\right)^2+n^2+\left(n+1\right)^2+\left(n+2\right)^2=5n^2+10\)

\(=5\left(n^2+2\right)\)

Để tổng này là số chính phương thì n² + 2 phải chia hết cho 5 hay n² + 2 có tận cùng là 0, hoặc 5, hay n² phải có tận cùng là 3, hoặc 8.

Mà n² là số chính phương nên không bao giờ có số tận cùng là 3 hoặc 8.

Vậy tổng của 5 số chính phương liên tiếp khác 0 không thể là 1 số chính phương

Gọi 2 số lẻ liên tiếp là 2k−1 và 2k+1, với k là số tự nhiên.

Tổng các bình phương của hai số lẻ liên tiếp là: (2k−1)2+(2k+1)2=4k2−4k+1+4k2−4k+1=8k2+2

Tổng trên chia cho 4 dư 2; Vậy nó không thể là số chính phương (Số chính phương hoặc chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1)

Vì a và b là số lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + 1 (Với k, m\(\in\)N)
=> a² + b² = (2k + 1)² + (2m + 1)²
= 4k² + 4k + 1 + 4m² + 4m + 1
= 4(k² + k + m² + m) + 2
=> a² + b² không thể là số chính phương .

Gọi 3 số nguyên liên tiếp là: a-1, a, a+1 
Giả sử b³= (a - 1)²+a²+(a + 1)² 
= 3a²+2 => chia 3 dư 2 
=> b chia 3 dư 2 => b=3k+2 
=> (3k + 2)³ = 3a² + 2 
=>27k^3+54k^2+36k+8=3a^2+2 
=>a² = 9k(k+1)²+(3k+2) 
NX: ta có vế trái là một số chia 3 dư 2 
Mà vế phải là một số chính phương, nên chia 3 chỉ có 2 khả năng dư 1 hoăc dư 0=> vô lý 
vậy ta có điều cần phải C/m.

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp la n-2;n-1;n;n+1;n+2(n thuộc Z,n>= 2)

ta có (n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=5(n^2 + 2)

vì n^2 k thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n^2 +2 k thê chia hết cho 5

suy ra 5(n^2 + 2) k la so chinh phuong

Ta biết một số chính phương hoặc chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1 
(3k)² = 9k² chia hết cho 3 
(3k+1)² = 9k² + 6k + 1 chia 3 dư 1 
(3k+2)² = 9k² + 12k + 3 + 1 chia 3 dư 1 
----------- 
A = a^2k + (a+1)^2m + (a+2)^2n = (a²)^k + ((a+1)²)^m + ((a+2)²)^n 

a, a+1, a+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên có đúng 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2 

=> a², (a+1)², (a+2)² có một số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 1 

=> (a²)^k, ((a+1)²)^m và ((a+2)²)^n có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 1 

=> A = (a²)^k + ((a+1)²)^m + ((a+2)²)^n chia 3 dư 2 không thể là số chính phương b² 
(vì b² chia 3 dư 0 hoặc 1) 

a) Từ giả thiếtta có thể đặt : \(n^2-1=3m\left(m+1\right)\)với m là 1 số nguyên dương

Biến đổi phương trình ta có : 

\(\left(2n-1;2n+1\right)=1\)nên dẫn đến :

TH1 : \(2n-1=3u^2;2n+1=v^2\)

TH2 : \(2n-1=u^2;2n+1=3v^2\)

TH1 :

\(\Rightarrow v^2-3u^2=2\)

\(\Rightarrow v^2\equiv2\left(mod3\right)\)( vô lí )

Còn lại TH2 cho ta \(2n-1\)là số chính phương

b) Ta có : 

\(\frac{n^2-1}{3}=k\left(k+1\right)\left(k\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow n^2=3k^2+3k+1\)

\(\Leftrightarrow4n^2-1=12k^2+12k+3\)

\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)=3\left(2k+1\right)^2\)

- Xét 2 trường hợp :

TH1 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=3p^2\\2n+1=q^2\end{cases}}\)

TH2 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=p^2\\2n+1=3q^2\end{cases}}\)

+) TH1 :

Hệ \(PT\Leftrightarrow q^2=3p^2+2\equiv2\left(mod3\right)\)( loại, vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 )

+) TH2 :

Hệ \(PT\Leftrightarrow p=2a+1\Rightarrow2n=\left(2a+1\right)^2+1\Rightarrow n^2=a^2+\left(a+1\right)^2\)( đpcm )

Cho mình hỏi ở chỗ câu b): Vì sao 2n-1=3p^2 và 2n+1=q^2 vậy ạ?

coppy

https://olm.vn/hoi-dap/detail/57202292544.html

Link ạ!

Tham khảo nhé