2/ Ta chú ý cái này:

\(10^{100}=999...999+1=9.111...111+1\)

\(222...222=2.111...111\)

Ta đặt \(111...111=n\)

\(\Rightarrow111...111222...222=111...111.10^{100}+222...222\)

\(=111...111.\left(9.111...111+1\right)+2.111...111\)

\(=n\left(9n+1\right)+2n=9n^2+3n=3n\left(3n+1\right)\)

Vậy \(111...111222...222\)là tích của 2 số tự nhiên liến tiếp

1/ Ta có: \(p^2-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên 

\(\left(p-1\right)\left(p+1\right)\) là tích của 2 số chẵn liên tiếp

\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮8\left(1\right)\)

Vì p nguyên tố lớn hơn 3 nên p có 2 dạng là: \(\orbr{\begin{cases}3k+1\\3k+2\end{cases}}\)

Với \(p=3k+1\)

\(\Rightarrow p^2-1=\left(3k+1\right)^2-1=9k^2+6k=3k\left(3k+2\right)⋮3\)

Với \(p=3k+1\)

\(\Rightarrow p^2-1=\left(3k+2\right)^2-1=9k^2+12k+3=3\left(3k^2+4k+1\right)⋮3\)

\(\Rightarrow p^2-1⋮3\left(2\right)\)

Vì 3 và 8 nguyên tố cùng nhau nên từ (1) và (2)

\(\Rightarrow p^2-1⋮\left(3.8=24\right)\)

1)Ta có:

\(111...11222...22\left(100 cs 1 v\text{à} 2\right)=10^{100}.111...111\left(100 cs 1\right)+222...22\left(100 cs 2\right)\)

\(=10^{100}.\frac{10^{100}-1}{9}+2.\frac{10^{100}-1}{9}=\frac{10^{100}\left(10^{100}-1\right)+2\left(10^{100}-1\right)}{9}=\frac{\left(10^{100}+2\right)\left(10^{100}-1\right)}{9}=\frac{10^{100}+2}{3}.\frac{10^{100}-1}{3}\)

\(M\text{à} \frac{10^{100}+2}{3}\ne\frac{10^{100}-1}{3} \)

\(\Rightarrow111...11222..2\left(100 cs 1 v\text{à} 2\right) \) không phải là tích 2 số tự nhiên

2) Để dacb chia hết cho 4 thì cb chia hết cho 4

Ta có :

cb=10c+b=8c+2c+b

Mà 8c chia hết cho 4 nên

2c+b cũng phải chia hết cho 4(đpcm)

Ta có : \(A=11...122...2=11...100...0+22...2\) ( 100 c/s 1 ; 100 c/s 0 ; 100 c/s 2 )

\(=11...1.\left(100...0+2\right)\) ( 100 c/s 1 ; 100 c/s 0 )

\(=11...1.\left(3.33...34\right)\) ( 100 c/s 1 ; 99 c/s 3 )

\(=33...3.33...34\) ( 100 c/s 3 ; 99 c/s 3 )

Vậy A là tích của hai STN liên tiếp

thanks

Trông câu hỏi tương tuewj cũng có dạng nay

bạn tham khảo ở đó nhé