CHTT nha bạn !

\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge2\sqrt{\frac{ac}{ca}}+2\sqrt{\frac{ab}{ba}}+2\sqrt{\frac{bc}{cb}}=2+2+2=6\)

Dấu"=" xảy ra khi a=b=c

Lớp 6 chưa học bđt Cauchy nha bn kia

\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge6\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\ge6\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}-6\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}-2+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}-2+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}-2+\frac{b}{c}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}+\frac{a^2-2ac+c^2}{ac}+\frac{c^2-2bc+b^2}{bc}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{\left(a-c\right)^2}{ac}+\frac{\left(c-b\right)^2}{bc}\ge0\) (luôn đúng \(\forall a;b;c\in N\))

Vậy \(S\ge6\)

Mn đừng chép bài giải ở CHTT nha vì em chưa học đến, giải = cách lớp 6 thôi ạ.

Ace Legona Rồng Đom Đóm Nguyen Nguyễn Thành Trương Nguyễn Thị Ngọc Thơ Nguyễn Thị Thảo Vy Lê Anh Duy Y Nguyễn Huy Thắng Khôi Bùi ...

sao giờ lớp 6 toàn học kiến thức lớp 8 thế

cái đầu tiên, chuyển 2ab sang thì vế trái phân tích được thành (a-b)^2 lớn hơn bằng 0

cái thứ 2, tách ra được a/c+b/c+a/b+c/b+b/a+c/a=\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\)\(=\frac{a^2+b^2}{ab}\)cộng với 2 cái kia nữa

có a^2+b^2 \(\ge\)2ab suy ra phân số lớn hơn bằng 2, 2 cái kia tương tự suy ra S>=6

a, Áp dụng bđt cosi ta có : 

a/b + b/a >= \(2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}\)= 2

b, Tương tự câu (a) ta có : b/c + c/b >= 2 ; c/a + a/c >= 2

=> S - a/c + b/c + b/a + c/a + c/b + a/b = (a/b + b/a) + (b/c + c/b) + (c/a + a/c) >= 2+2+2 = 6

Tk mk nha